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标题: 只看楼主 回复 求助一道平面几何题，注意审题，和大多数题不一样。 [打印本页]
作者: SaiMo    时间: 2012-7-25 21:17:45     标题: 只看楼主 回复 求助一道平面几何题，注意审题，和大多数题不一样。

本帖最后由 SaiMo 于 2012-8-23 01:12 编辑

在三角形ABC的三边上，分别取点D、E、F，使AD=BE=CF。且△DEF是等边三角形。求证ABC为正三角形。

注意是已知内三角形为正三角形，而不是外！大多数题出的是已知外为正求证内为正。注意审题啊！

图是后来加的……一开始没放图让前面几楼想到别处去了……

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作者: 淘气大雄    时间: 2012-7-26 00:54:09

因为正三角形DEF，
所以∠FDE与∠FED与∠EFD的两个补角的和都相等
∠DEB+∠FEC=∠DFA+∠EFC=∠FDA+∠EDB
所以∠A=∠B=∠C
作者: 耗子哥哥    时间: 2012-7-26 01:06:57

举个反例证伪就成了吧？
error.gif
计算了一下，这个三角形确实存在。

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作者: 西北天狼    时间: 2012-7-26 09:08:27

在三角形ABC的三边上，依次取点D、E、F，使AD=BE=CF。且△DEF是等边三角形。求证ABC为正三角形。
正三角形.PNG


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作者: 西北天狼    时间: 2012-7-26 09:37:37

本帖最后由 西北天狼 于 2012-7-26 12:28 编辑
耗子哥哥 发表于 2012-7-26 01:06
举个反例证伪就成了吧？

计算了一下，这个三角形确实存在。


令DE=EF=FD=1，设AD=BE=CF=x 则 AE=√(x^2-√3x+1)，由(AE+X)/AE=X/(X-√3/2)得x的4次方程，用几何画板解得 x≈1.31
作者: PKUSMSBQ    时间: 2012-7-26 10:26:52

经鉴定，此帖标题不清且题目表达有歧义
作者: 耗子哥哥    时间: 2012-7-26 11:18:49

本帖最后由 耗子哥哥 于 2012-7-26 11:36 编辑
西北天狼 发表于 2012-7-26 09:37
令DE=EF=FD=1，设AD=BE=CF=x 则 AE=√(x^2-√3+1)，由(AE+X)/AE=X/(X-√3/2)得x的4次方程，有解？！


　　实话实说我也不是自己求解的。
　　按照题目的说法，想想有三种可能，前两个就是你楼上画的图，但是题目没有说明的话，应该也有我画的这种情况存在。
　　就想到，如果在一个等腰三角形内接等边三角形，就会出现这个可能。
　　顺便说一句你给改成“依次”之后，也不影响我这三个点DEF顺时针或逆时针的顺序，所以你的调整并不影响我这个答案的存在。

　　我跟你一样，用比例推算出来了这个方程，然后借一个小软件算了一下果然有正数解。

count.gif


　　我画的只是一个示意图，不过有兴趣的话，可以尝试画一下这个三角形，应该跟我这张图片差不多。

　　P.S.：晕，为什么我计算出来的和你计算出来的结果不一样？

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作者: 西北天狼    时间: 2012-7-26 11:28:26

“依次”指的是逆时针，在数学上标注是约定俗成的。
作者: 耗子哥哥    时间: 2012-7-26 11:39:04

本帖最后由 耗子哥哥 于 2012-7-26 12:11 编辑
西北天狼 发表于 2012-7-26 11:28
“依次”指的是逆时针，在数学上标注是约定俗成的。


好说啊，ABC顺时针标注，DEF就符合“依次”了。
还是题目不完整有漏洞，虽说考试的时候这样回答不会得分，但是按照题目，如果没有图来说明的话，只要能够估算出来我的这个证伪的情况是存在的，就可以扌隹番习习整个命题。
作者: 西北天狼    时间: 2012-7-26 12:25:59

笔误：AE=√(X^2-√3X+1)，好像少了一次项。
作者: 耗子哥哥    时间: 2012-7-26 17:26:00

西北天狼 发表于 2012-7-26 12:25
笔误：AE=√(X^2-√3X+1)，好像少了一次项。

count.jpg

话说，常数项应该是（1/2）^2，你也弄错了。
这次这个计算就对了。

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作者: 西北天狼    时间: 2012-7-26 17:56:42

应该没错，平方项展开并合并常数项了，结果基本上是一致的！
作者: 西北天狼    时间: 2012-7-26 18:27:53

正三角形.PNG
唉上个图太费劲了：（

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作者: superacid    时间: 2012-7-26 21:57:37

我想知道DEF分别在哪一条边上
作者: 西北天狼    时间: 2012-7-26 22:51:51

附图在3#，。。。。。



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