魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 来道几何题 [打印本页]

作者: ggglgq 时间: 2008-6-8 22:23:14 标题: 来道几何题

               这几天看到大家对数学比较感兴趣，尤其是 gozichen 、金眼睛等魔友   数学功底扎实，屡次出手不凡，使用或给出了一些独到的方法，解决或研究了   一些 ★ 数学、算术趣题 ★ 有趣的问题！            本人即兴给大家来道几何题，请大家做做，可能很简单，让大家见笑了！             如图，已知 AC、BD 的长度，求线段 AB 的长度。      <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0806/20080608_6b7fc16ee3f4a4d1ad0aztEahUEQo8Rx.png" border=0>                               

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-6-9 20:21 编辑 ]

作者: gozichen 时间: 2008-6-8 22:51:40

按道理应该是能过相似三角形边的比例来解，但看不出有必然的相似三角形？ 几何题要投降了，实在太久远了<img smilieid="10" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border="0"> 

[ 本帖最后由 gozichen 于 2008-6-8 23:28 编辑 ]

作者: panxinhua 时间: 2008-6-8 22:55:16

没贪上那么好的DNA。实属郁闷中。。。

作者: 金眼睛 时间: 2008-6-8 23:13:50

AC，BD的长度一定，AB的长度就会一定么？唯一性还不太会证明，不过如果是一定的，倒是可以解出来
 
假设三角形为等腰三角形，对称轴由上至下AC，CD，DB的长度：AC=x，CD=z，DB=y
 
根据相似三角形的比例关系，经过C，B的两条水平线段的比例分别等于x/(x+y+z)和z/y
 
x/(x+y+z)=z/y  ->  z^2+(x+y)*z-xy=0   可以解出CD的长度，从而AB的长度就可以得到了。
 
关于唯一性，还不知道怎么证明，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28">

作者: 刘超 时间: 2008-6-8 23:23:38

第一题是3+CD，第二题是x+y+CD

不然我就不会了

作者: 水泮居 时间: 2008-6-8 23:24:43

厉害啊。。。楼上的兄台

作者: 刘超 时间: 2008-6-8 23:33:52

见笑了。

不过我还是希望看到正解，最近脑子没怎么用过，呵呵

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-6-8 23:36:43

看来还挺高深的哦，不过楼主说初中生会做，那么应该不会太复杂吧

作者: hzhenr 时间: 2008-6-8 23:43:01

LZ给个考纲，看看需要些什么知识可以解决

作者: 刘超 时间: 2008-6-9 00:11:22

lz给答案吧，我都等不及了

作者: Zx.MYS 时间: 2008-6-9 00:44:06 标题: 回复 5# 的帖子

肯定是正解！！！！！

作者: 刘超 时间: 2008-6-9 00:57:08

谢谢支持。因为我实在不会做，呵呵

作者: 魔№鬼 时间: 2008-6-9 01:04:55

还真费脑子，LZ给点提示怎样证明吧。

作者: 刘超 时间: 2008-6-9 01:44:44

lz真的要到早上才给答案，我睡不着了

作者: killall 时间: 2008-6-9 01:52:45

看出些大概，两个都是等腰三角形，呵呵，等腰三角形的高是怎么求的，我忘了。
因该要用到这个公式吧。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-6-9 14:59:15

金眼睛不错啊，这样的几何题真的很久远了，佩服！

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-6-9 15:00:05

由梅陧劳斯定理及赛瓦定理有：
x/z=AH/FH*GF/DG
(x+z)/y=EF*HA/(BE*FH)
为了方便计算，基于上面式子均为比例式且三边的次数均相等，可不妨设AH,AG,EB=1,HF=m,BF=l,GE=n,
则有：
m=n*l
于是：
x/z=(1+l*(n+1))/m
(x+z)/y=(1+l)/m
而l*n=m
可得到：(x+y+z)*z=xy
解出：总长＝x+y+z=0.5×根号（x^2+y^2+8xy）
 
这里只是给出了一个大概的做法，具体计算过程貌似很繁琐。。。这边就不给出了。。。

[ 本帖最后由 qq280833822 于 2008-6-9 15:02 编辑 ]

附件: 1.JPG (2008-6-9 15:00:05, 9.14 KB) / 下载次数 16
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTgxNzd8OWMzMzlhNmV8MTcxNTY3MzgzMXwwfDA%3D

作者: noski 时间: 2008-6-9 15:14:28

同意4楼金眼睛的答案，我也是以等腰三角形为特例算出的这个结果。

作者: 刘超 时间: 2008-6-9 15:26:07

初中的有这么难吗？不用想那么复杂吧？lz给答案吧

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-6-9 15:54:45

。。。没想复杂啊。。。梅陧劳斯定理和赛瓦定理不都是初中的知识么。。。

作者: 刘超 时间: 2008-6-9 16:54:28

不要吓我啊，现在初中学这么难的

我肯定是不同时代的

作者: 刘超 时间: 2008-6-9 19:15:46

lz怎么还不给答案啊，等了一天了哦

想看看有天分的初中生是怎么做的，我是没天分的大学生，郁闷

作者: ggglgq 时间: 2008-6-9 20:22:30

           对楼上道歉一下，本人说话不当，相关内容删了！              话说正常人的身长（高）AB 与其头长 AC 、脚长 BD 满足某种“函数关系”。   人们利用这种“函数关系”测出身体瘫痪者头长 AC 、脚长 BD ，便可以计算出其   身长（高）AB  。   当然，这与本题的“函数关系”不同！     <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0806/20080608_6b7fc16ee3f4a4d1ad0aztEahUEQo8Rx.png" border=0>              感谢大家积极参与本题的解答，总结一下大家的解法可以得出：         本题的关键是，如图，求证： AC×BD = AB×CD  。               只是提醒大家，这里的三角形不是等腰三角形，更不存在什么平行线、高，等等。   大家所“强加”的条件，只是一种“特值法”求解。这种方法对于“考试”行之有效，   对于深入研究可能会带来一些负面影响，呵呵。

原帖由 qq280833822 于 2008-6-9 15:00 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=153914&ptid=9681" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
由梅陧劳斯定理及赛瓦定理有：
x/z=AH/FH*GF/DG
(x+z)/y=EF*HA/(BE*FH)

前面好象您只是运用了 “梅陧劳斯定理”，并没有使用“赛瓦定理”（后面用了）。        灵活运用这两个定理，可以证明： AC×BD = AB×CD  。          而且 AH,AG,EB=1,HF=m,BF=l,GE=n  的设法还是“特值法”求解，不可取呀。           

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-6-9 21:39 编辑 ]

作者: 刘超 时间: 2008-6-9 22:12:33

还是不懂，看来我数学真的落后了，就算让我们证明了 AC×BD = AB×CD ，那之后怎么做啊？怎么我初中的时候就没遇见过这种题的，呵呵

作者: 金眼睛 时间: 2008-6-9 22:33:35

<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> ，当然知道LZ肯定不会同意只算出答案的，我隐约记得关于三角形有一个线段间的比例关系，不过确实忘了叫做梅陧劳斯定理及赛瓦定理。
 
看了17楼的帖子，又去百度词条中温习了一下这个定理，粗浅感觉梅陧劳斯定理和赛瓦定理本质上是一样的，不知道我理解的对不对，而且三个比值当中三角形ABC三点是轮换关系。
 
就算知道了这个定理，关于怎么应用还是颇费一番脑筋的，还好，经过LZ的提示，把精力放在AD，DC，CB，AB几根线段上，很快得以证明，证明过程如下：(参看17楼的附图)
 
先看三角形AEC，将直线GH看做梅涅劳斯定理中那根乱穿的直线，则可以得到下面的关系式：
(AG/GE)*(EH/HC)*(CD/DA)=1
还是看三角形AEC，将F点看做赛瓦定理中那个平面上的点，则可以得到下面的关系式：
(AG/GE)*(EH/HC)*(CB/BA)=1
因此CD/DA=CB/BA，即DA×CB=CD×BA
 
17楼的图跟LZ的图有点区别，CD的位置不同，这个等式即是LZ要求的AC×BD=AB×CD，由于定理是现学现卖，有不妥之处望请指正，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17"> <IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28">

作者: 刘超 时间: 2008-6-10 00:26:29

都是牛人，我不懂，把具体的答案告诉我吧，不是问AB的值吗？？？

作者: ggglgq 时间: 2008-6-10 08:37:34

<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0806/20080608_6b7fc16ee3f4a4d1ad0aztEahUEQo8Rx.png" border=0>              设 CD = z ，由 AC×BD = AB×CD 得到  z^2 + (x+y)z - xy = 0  ，   便可以解出 z （ CD ）的值，从而由你 5 楼的 x+y+CD 得出 AB 的长度。   刘超还是很厉害的！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/victory.gif" border=0 smilieid="14">

作者: ggglgq 时间: 2008-6-10 08:40:10

          给金眼睛先生的解答补上图！   
<HR>

   <IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> ，当然知道LZ肯定不会同意只算出答案的，我隐约记得关于三角形有一个线段间的比例关系，不过确实忘了叫做梅陧劳斯定理及赛瓦定理。
 
看了17楼的帖子，又去百度词条中温习了一下这个定理，粗浅感觉梅陧劳斯定理和赛瓦定理本质上是一样的，不知道我理解的对不对，而且三个比值当中三角形ABC三点是轮换关系。
 
<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0806/20080609_4ca1402963fd59a2a6c3ZX9FKdj1oQkp.jpg" border=0>
就算知道了这个定理，关于怎么应用还是颇费一番脑筋的，还好，经过LZ的提示，把精力放在AD，DC，CB，AB几根线段上，很快得以证明，证明过程如下：(参看17楼的附图)
 
先看三角形AEC，将直线GH看做梅涅劳斯定理中那根乱穿的直线，则可以得到下面的关系式：
(AG/GE)*(EH/HC)*(CD/DA)=1
还是看三角形AEC，将F点看做赛瓦定理中那个平面上的点，则可以得到下面的关系式：
(AG/GE)*(EH/HC)*(CB/BA)=1
因此CD/DA=CB/BA，即DA×CB=CD×BA
 
17楼的图跟LZ的图有点区别，CD的位置不同，这个等式即是LZ要求的AC×BD=AB×CD， <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0806/20080608_6b7fc16ee3f4a4d1ad0aztEahUEQo8Rx.png" border=0> 由于定理是现学现卖，有不妥之处望请指正，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17"> <IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28">          
<HR>

                    给金眼睛先生的解答补上图！          

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-6-10 08:46 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-6-10 08:40:32

           金眼睛先生厉害呀，证明很精彩！加分！希望您早日脱离“黑魔”！

作者: 刘超 时间: 2008-6-10 09:28:17

好像有点懂了，不过看来我真的水平太低，没办法跟你们交流了

作者: simpley 时间: 2008-6-10 09:53:25

这个题我最初也是用平行线这种特殊情况解出的,但逻辑是不严密的.看到正解后,总是不理解为什么不严密的逻辑推出的结果和答案相同.所以又深入思考,得出了一个逻辑严密的特殊性证明.还以17楼的图为例:
以D为中点作线段G1HI,以B为中点作E1F1平行G1HI,且使G1HI=E1F1*AB/AD,可证A,E1,G1三点同线,A,F1,H1三点同线.
E1,C,H1三点同线,F1,C,G1三点同线.
这样就构造出一个新的但完全符合条件的特殊三角形,下面就好证明了.

而且用这种方法,我们对这一问题有了进一步的了解:AD,BC的值确定后,只有AB的值是确定的,而外面的三角形的可能性有无限多.

作者: 金眼睛 时间: 2008-6-10 18:38:40

感谢版主，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17"> 
多亏qq280833822提到梅捏劳斯及塞瓦定理，要不我可不会做，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28">

作者: 葡萄 时间: 2008-6-10 19:14:24

没学过几何~~~~~~~~~~~~~`

作者: 加里宁 时间: 2008-6-12 13:54:22

梅陧劳斯定理和赛瓦定理初中刚读完。。。还没有在课本里听过。。。老师也说现在运用不到。。。

作者: Cielo 时间: 2008-6-12 16:58:38

<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0806/20080609_4ca1402963fd59a2a6c3ZX9FKdj1oQkp.jpg" border=0>
可以用正弦定理来做：  (AD×BC)÷(AB×CD) =(AD÷CD)×(BC÷AB) =(∧AGH÷∧CGH)×(∧CEF÷∧AEF) =[(AG×AH×sin∠GAH)÷(CG×CH×sin∠GCH)]×[(CE×CF×sin∠ECF)÷(AE×AF×sin∠EAF)] =(AG÷AF)×(AH÷AE)×(CE÷CG)×(CF÷CH) =(sin∠AFG÷sin∠AGF)×(sin∠AEH÷sin∠AHE)×(sin∠CGE÷sin∠CEG)×(sin∠CHF÷sin∠CFH) 由于互补的角的正弦值相等∧所以上式=1 （其中∧表示三角形的面积）                                    ggglgq   补图           

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-6-12 21:33 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-6-12 21:29:32

           用“正弦定理”来证明，好方法！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/victory.gif" border=0 smilieid="14">

作者: 刘超 时间: 2008-6-12 23:19:32

都是牛人，我放弃了

作者: 我来也 时间: 2008-6-13 19:52:19

都是高手,路过,学习,长知识了

作者: ggglgq 时间: 2008-6-15 09:05:16

<H3>□ 本周热门 □</H3> 
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width="100%" border=0>
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<DIV style="OVERFLOW: hidden; WIDTH: 100%; HEIGHT: 20px"><A title="本周热门 
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主题标题: kexin_xiao 真是狂~~~~
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发表时间: 2008-6-9 16:51
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最后回复: 2008-6-14 23:37
最后发表: Atato" href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=9728">kexin_xiao 真是狂~~~ ...</A></DIV>
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主题标题: ★★★“表扬”一下“水王”kexin_xiao
主题作者: tarzan
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主题标题: 魔方的MF8，呵呵，也算是魔方艺术吧？
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主题标题: 来道几何题
主题作者: ggglgq
发表时间: 2008-6-8 22:23
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最后回复: 2008-6-13 19:52
最后发表: 我来也" href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=9681">来道几何题</A></DIV></TD></TR></TBODY></TABLE>              本人的该主题也进□ 本周热门 □了，感动中......<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/cry.gif" border=0 smilieid="4"> 留影纪念一下。           本人的主题历来都是貌似“难以解答”的，本以为可能该主题也会“石沉大海”   或者“无人问津”，但出乎意料，居然还有这么多魔友跟贴并给出精彩解答！使得   本主题被纳入□ 本周热门 □。                本人之所以要这么“激动”，是想借此机会告诉大家，本人的所有主题都是比较   “容易”理解的，只要大家把其他“精力”的“十分之一”或更少的“精力”用进去，   就可以理解了。比如我发的那些“置顶”待研究的主题，实际上没有多难，只要大家   用心，就能有收获或者有心得，并能继续研究下去。欢迎有能力的魔友积极参有关   本人的主题研究。

作者: 加布 时间: 2008-6-15 09:35:12

应该有2个垂直的吧？不然的话。。。

设2个未知线段，然后用XY表示就可以了，1题2题一样的

作者: bimilbenhao 时间: 2008-6-15 10:02:13

只知道AC BD求 AB..... 又没有其他条件

好难

作者: Atato 时间: 2008-6-15 10:37:45

答案出来了 
我初中学的貌似很肤浅.只能优秀没有心情钻研...
梅涅劳斯定理我还不知道呢呵呵..

作者: 刘超 时间: 2008-6-15 12:34:57

这个贴我也有功劳

作者: 路过 时间: 2008-6-16 19:59:12

两个图是对称的呀,只能算一道题.

作者: 忧郁小生 时间: 2008-6-23 16:30:53

such so very quiet复杂
看不懂

作者: huanle5454 时间: 2008-6-23 16:32:28

我高考数学47分~~~~

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