阶魔方 --- 概念定义

Fenz

说在前面：
为了理论的严谨性和普适性，本文是从抽象角度看待魔方，忽略外形，配色等，简单地看成一个变换群，所以同构异形的魔方（如三阶魔方、镜面、鬼魔等）统统看成同一种魔方。
下面提到的一个概念“标准外形”，也需要事先说明一下，对于三阶魔方，标准外形就是普通三阶的外形，镜面、鬼魔有不同的实际外形，但它们仍属于三阶魔方，标准外形还是普通三阶的样子——正六面体。
以上是为消除误解而补充的说明，正文开始...


魔方的分类方式有很多，这里说一种朴素的方式，如“二阶魔方”、“三阶魔方”...“二阶五魔”、“四阶五魔”...“N阶四面体”...这些能用阶数和多面体外形来定义的魔方归为一类。
规范的命名方式为“某某体N阶魔方”或“N阶某某体魔方”，当这个“某某体”是正十二面体，可简称五魔，是正六面体时，若不引起歧义，可省略。
这些魔方统称“阶魔方”，具体定义如下。

1. 魔方的标准外形满足以下条件：
　　a)每个面都是正多边形，
　　b)过每个顶点都3条边；
2. 是转面魔方，每个面上的可转动角集合=2π/n的整数倍角集合(n为转动面的边数)；
3. 每个面都对应数量相同的一组切面，切面深度与形状一一对应相同；
4. 切割的深度不超过与转动面相交的棱的中点到转动面的相邻面的中点的连线；
5. 任意切面与同组切面不相交，与相邻组中的切面都相交，与不相邻组的切面都不相交（此处的相交是指相互交叉穿过，部分重合而没有通过不算）。

阶魔方以标准外形和阶数命名。阶数N通常是数棱上块的个数来定义。下面提供一个等价而更少歧义的定义。
第3点中有一个数字——一个面对应的切面数量，我们记为 M。其中如果切面刚好满足以上第4点，就会与另一组的一个切面重合(比如二阶魔方R面的切面和L面的切面重合)，那么分到一组中只算半个切面，所以M有时候是半整数(这时候就是偶数阶魔方)。
阶数N定义为N=2M+1。这不难理解一条棱与两组切面相交，被切开2M处，就会有2M+1个块。而有“半个切面”时，两组各半个切面组成一个切面，也满足同样的规律。

之所以该定义歧义更少，这里举三阶五魔说明。三阶五魔的切面变深而让棱块变成两个分开的三角形时，数棱上块的个数就变成两个，而事实上魔方还是那个三阶五魔。用切面定义就避免了这个问题。


阶魔方外形的限制下。正八面体、正二十面体这样的多面体就不符合条件了。满足条件的多面体有：
三种柏拉图多面体（正多面体）
正四面体、正六面体、正十二面体；
七种阿基米德多面体
截角四面体、截角立方体、截角八面体、截角十二面体、截角二十面体(足球)、大斜方截半立方体、大斜方截半二十面体；
以及侧面是正方形的正棱柱(无数种)。

图中展示的是几种形状的二阶、三阶魔方，前三种是柏拉图多面体，跟着两种是阿基米德多面体，最后一种是正棱柱。阿基米德多面体和正棱柱数量多，没有全部展示，这里举出具有代表性的。
二阶魔方的切线，是定义中第4条规定的最深切线，一旦超过这个深度，就不再是阶魔方，而属于深切魔方了。而由这条切线可知切面一般不是平面，阶魔方的定义并未规定切面形状，所以是任意的，只要同一组切面不相交即可。

当每个面都相同时，阶魔方才是精准的魔方，所以精准的阶魔方只有三种正多面体外形。当阶魔方有多余一种面时，形状的不同就要产生误差，如已经做成实物的足球三阶魔方、五棱柱三阶魔方；或者通过变形来适应形状，如我的虚拟魔方三棱柱二阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=c34443)、三棱柱三阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=cb34443)。面与面之间边数相差越大，误差或性别程度就越大。如上述两个做成实体的魔方，误差就较小，而那些阿基米德多面体中，有的同时拥有正三角形和正六边形甚至正八边形，所以误差大到无法做成实体，只能通过虚拟魔方变形来解决了。

当然魔方的外形不一定都是标准外形，比如三阶正六面体魔方，就被做成镜面、移棱、鬼魔、粽子、八面体等各种形状。从根本上说，这些同构异形仍与三阶魔方是一回事，作为理论贴，本文将它们视为同一种魔方，这种魔方的实际外形可以多种多样，而标准外形就是正六面体。定义中受到规定的都是标准外形，并不约束实际外形（这事先没有强调造成误解，望能澄清）。

PS: 之所以用魔方的标准外形而非轴数来命名，一来单单轴数并不包含轴的分布情况，转动角度等信息，而标准外形则包含所有相关信息；二来轴数并非一个很清晰的概念，比如高阶正四面体魔方，按理说应该算四轴，可换个角度看，又活脱脱是八轴魔方。
比如胡老师的这个







事实上是七阶正四面体魔方的六面体形态，

这种魔方到底算是四轴还是八轴呢？


最后再来讨论与阶魔方有关，但不属于阶魔方的系列

唯棱魔方。在大烟头的观点中，它属于一阶魔方，而按本帖的定义，它不属于阶魔方，因为任意两个切面都不相交，不满足第5点。如果把唯棱叫做一阶魔方有一个问题，当我们把唯棱魔方的棱块从中间切成两块（就像四阶的棱块），同理就成了二阶魔方，这就和真正的二阶魔方冲突了。
所以唯棱魔方另外成一个系列，可以称为一阶唯棱魔方、二阶唯棱魔方。“唯棱”二字不能省略。
而“一阶魔方” ，N=2M+1,N=1  =>  M=0,  没有切面的“魔方”，便如直观认识，是骰子了。

不等阶魔方。这是一类正六面体转面魔方，也有阶的概念，有三个阶数L,M,N。命名方式便是L×M×N或LMN。当L=M=N，且对应切割深度相等时，就是N阶正六面体魔方。所以正六面体阶魔方也和不等阶魔方一并形成一个大类，拥有如3×3×3、4×4×4之类的命名方式。
这里提一个问题，不等阶魔方的并不能仅仅以三个阶数定义，切割深度不同也能让魔方不同（比如3×3×5就可以是好多种）。

百慕大魔方。它的一类特殊情况就是各种三阶魔方，虽然不属于阶魔方，但仍然可以定义一个阶数，这个值永远是3。

可见并非只有阶魔方才能定义阶数，唯独这类魔方能叫阶魔方，是因为它们仅仅用阶和标准外形便可完整描述。

honglei

skewb在结构上是四轴,实际上却是八轴的功能.

Fenz

honglei 发表于 2014-9-8 22:41
skewb在结构上是四轴,实际上却是八轴的功能.

而skewb又和正四面体三阶同构，和上面正四面体七阶情况类似，所以我觉得轴数是一个模糊的概念，除非重新严格定义，否则在定义和规范命名上还是不要用的好。

ursace

定义里的第一条就错了：
1. 魔方的标准外形满足以下条件：
　　a)每个面都是正多边形

N多不等阶的侧面都不是正多边形，比如113、223之类的
还有你说的这个定义仅指还原时的状态吗？
那很简单的三阶镜面怎么算？打乱时的状态连“面”的概念都没有。
还有完全可以把某个“打乱”的状态，同侧帖上同色的贴纸当作是复原状态，更不可能是正多边形了。

939980422

定义里的第一条就错了：
1. 魔方的标准外形满足以下条件：
　　a)每个面都是正多边形

N多不等阶的侧面都不是正多边形，比如113、223之类的
还有你说的这个定义仅指还原时的状态吗？
那很简单的三阶镜面怎么算？打乱时的状态连“面”的概念都没有。
还有完全可以把某个“打乱”的状态，同侧帖上同色的贴纸当作是复原状态，更不可能是正多边形了。

耗子哥哥

我总觉得这个问题讨论下去肯定是个死循环，所以就不要纠结了。
放心，无论怎样定义，都有漏洞，也都有漏网之鱼。

Fenz

ursace 发表于 2014-9-9 00:54
定义里的第一条就错了：
1. 魔方的标准外形满足以下条件：
　　a)每个面都是正多边形

不等阶魔方不满足第一点，也通常不满足第二点，更不满足第三点，不属于这里定义的阶魔方，应该另属于一个系列。
镜面魔方的外形并不是标准外形，其标准外形仍然是三阶正六面体，所以还是满足第一点的。

Fenz

耗子哥哥 发表于 2014-9-9 12:38
我总觉得这个问题讨论下去肯定是个死循环，所以就不要纠结了。
放心，无论怎样定义，都有漏洞，也都有漏网 ...

科学又何曾解释所有现象？
定义有漏洞的话，找到更好的定义便是，魔方抽象化就是数学上的一类置换群，没那么多悖论、死循环什么。
理论弄清楚了，对设计魔方也会起指导作用，比如前阵子的百慕大魔方。
上面四楼魔友，以及五楼那只鹦鹉所提的，一个例子根本在本文定义之外，是另一类魔方，另一个例子的话，其实满足定义，不过是概念没沟通清楚引起的误解罢了。

shifujun

Fenz 发表于 2014-9-9 15:26
科学又何曾解释所有现象？
定义有漏洞的话，找到更好的定义便是，魔方抽象化就是数学上的一类置换群，没 ...

那按照你的定义，镜面魔方是不是三阶魔方？是不是正六面体三阶魔方？

乌木

我想，镜面魔方可以看作是，一个三阶普通魔方，把它的两两相邻的三个转层适当地刨去一定的厚度，这三层刨去的厚度各不相同；另三个转层则加厚，加厚程度也是各不相同。然后，一般就做成各面同色。
这样形变之后，它的变换规律一点没变。
对于三阶变形魔方，恐怕不必排除出三阶魔方类的吧。