三阶魔方的中心块有多少种变化？

黑白子

图案三阶魔方的中心块有多少种变化？24、2048、4096？

乌木

是否这样考虑：
如果图案三阶魔方的每个中心块都可以看得出有四个方向的变化；如果问它们共有多少种变化这个问题的前提是，不影响角块和棱块的原状，而且不考虑中心块组的整体运动（即魔方的变化不变化是相对于中心块组而言的，参照物是中心块组），那么，六个中心块自转度数之和应该是90°的偶数倍。
本来，不管角块和棱块有无变化的话，每个中心块自转方向变化数是4，六个中心块的变化总数就是4^6=4096。但是，其中一半是对应于偶数倍90°，另一半是对应于奇数倍90°。
所以，满足上述条件的中心块方向变化总数只是2048。

进一步想想，是否是这样的关系：
中心块自转度数为偶数倍90°的2048个中心块状态，是和(4.3×10^19)/2 个偶态角块和偶态棱块的状态组合的，得到相应的变化数为2048×(4.3×10^19)/2。
中心块自转度数为奇数倍90°的2048个中心块状态，是和(4.3×10^19)/2 个奇态角块和奇态棱块的状态组合的，得到相应的变化数也是2048×(4.3×10^19)/2。
两者之和就是“图案三阶魔方”的总态数：2048×(4.3×10^19)/2  ＋  2048×(4.3×10^19)/2  ＝ 2048×(4.3×10^19) 。
所以，由中心块自转引起的因子只是2048 。

至于那个24，是参照魔方的环境时，魔方整体取向的变化数，也就是中心块组取向的变化数。如果固定角块－棱块的状态，中心块组相对于角块－棱块的变化数，只有12（即三个方向的相对旋转累计偶数次90°），另外12种变化（相对旋转奇数次90°）是转不出的。

黑白子

乌木 发表于 2016-1-26 22:13
是否这样考虑：
如果图案三阶魔方的每个中心块都可以看得出有四个方向的变化；如果问它们共有多少种变化这 ...

也就是说，中心块可以转出4096种状态，其中一半是偶态，一半是奇态。若以环境做参照物，状态是24*4096/2=24*2048=12*4096种。

乌木

3楼说：“若以环境做参照物，（图案三阶中心块的）状态是12*2048种。”
参照中心块组时，纯色三阶的总态数是(4.3×10^19) ；若以环境做参照物，纯色三阶魔方的总态数是24×(4.3×10^19) ；若再多一个变化因素——中心块自转，则总态数是否变为 2048×24×(4.3×10^19) ？
即中心块组的整体旋转包含在 纯色三阶魔方的总态数 24×(4.3×10^19) 之中了，即魔方的整体旋转也就是中心块组的整体旋转，这里的 “24” 既是魔方转，又是中心块组转。这样，若要在这种情境下单独讲图案魔方中心块的变化数，那就是2048×24了，不是“12*2048种”。
不知我这样想对不对？

至于这个“12”，是中心块组相对于角块－棱块框架的旋转变化数，且是固定角块－棱块后得出的；而这个工作在以前计算纯色三阶参照中心块组时得到的(4.3×10^19)之中已经考虑过了。中心块组相对于角块－棱块旋转，就是角块－棱块相对于中心块组旋转，采用了(4.3×10^19)，就不能再采用12 了。

黑白子

乌木 发表于 2016-1-27 10:38
3楼说：“若以环境做参照物，（图案三阶中心块的）状态是12*2048种。”
参照中心块组时，纯色三阶的总态数 ...

角块的状态数是8!*3^7，棱块的状态数是12！*2^11，两者都是位置状态数乘以朝向状态数。然而，心块状态数是24*4^6/2，为什么心块状态数是是位置状态数乘以朝向状态数的一半呢？

乌木

黑白子 发表于 2016-1-27 19:16
角块的状态数是8!*3^7，棱块的状态数是12！*2^11，两者都是位置状态数乘以朝向状态数。然而，心块状态数是 ...

其实，3^7 和 2^11 的由来是：
角块状态数是(8！×3^8) /3，乘以1/3是排除了转不出的2/3的角块色向态；
棱块的状态数是(12!×2^12) /2，乘以1/2是排除了转不出的1/2的棱块色向态；
中心块状态数24×4^6 / 2，乘以1/2是排除不可能的偶态中心块组合奇态角块－奇态棱块以及奇态中心块组合偶态角块－偶态棱块，这已在2楼论述了。
不知可不可以这样论述？

黑白子

乌木 发表于 2016-1-27 20:21
其实，3^7 和 2^11 的由来是：
角块状态数是(8！×3^8) /3，乘以1/3是排除了转不出的2/3的角块色向态； ...

当然可以，有趣的是，角块和棱块各自的色向和为零。心块色向和可为零，也可以是180度，与前二者性质不同。

乌木

黑白子 发表于 2016-1-27 22:18
当然可以，有趣的是，角块和棱块各自的色向和为零。心块色向和可为零，也可以是180度，与前二者性质不同。 ...

是蛮有趣。
三阶图案魔方角块簇和棱块簇无论在偶态之时还是在奇态之时，色向和始终保持为零，但中心块的方向之和的变化看来与之并不协调。
看来要从另一角度来比较：
角块和棱块在偶态时，都含有偶数次二交换，同时中心块含有偶数个90°自转；
角块和棱块在奇态时，都含有奇数次二交换，同时中心块含有奇数个90°自转。
这样，三者就协调了。
如果要问中心块的方向变化和角块和棱块的奇偶变化（与块的位置变化有关）怎么可以放在一起比较呢？
表层的旋转决定了中心块的方向变化；表层的旋转虽然会使角块和棱块的色向有变化，但角块簇和棱块簇的色向和始终不变，表层旋转却决定了角块簇和棱块簇的奇偶性。既然都是由表层旋转直接引起的，还是把中心块的自转方向变化和角块棱块的奇偶变化比较吧。
我这样说好像有点强词夺理。