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发表于 2018-11-18 17:53:00
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本帖最后由 Fenz 于 2018-11-18 17:51 编辑
以前分析和设计百慕大系列的时候,想过了特征值 Emax 为 3~6 的各种情况,却漏了 2.5 这个可能性。一晃四年过去了,如今因为写魔方软件而回头分析半整数百慕大时,才发现特征值为 2.5 是可能的。
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以下为理论分析,就不单独发帖了
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百慕大魔方的面满足以下特征:
棱数 + 角数 = 特征值×2
棱数 < 角数
棱数×2 ≥ 角数
角块外侧的角θ = π - 2π/特征值
两个面的夹角 = arccos( tan( θ/2 )/tan( θ ) )
特征值 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 | 角块角度 | -60° | 0° | 36° | 60° | 77.143° | 90° | 100° | 108° | 114.545° | 120° | 面面角 | 70.529° | 60° | 63.435° | 70.529° | 79.513° | 90° | 102.130° | 116.565° | 135.285° | 180° |
可见特征值必须大于 2,否则角块没有合法的形状;又必须小于 6,达到 6 时,已经平了,在欧几里得时空内无法构成立体形状(负曲率的非欧几何内,应该是可以的,数学不够好,就不讨论了)。
再看可能的棱块角块数量组合
棱块数 | 角块数 | 特征值 | 2 | 3 | 2.5 | 2 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 3.5 | 3 | 5 | 4 | 3 | 6 | 4.5 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 4.5 | 4 | 6 | 5 | 4 | 7 | 5.5 | 4 | 8 | 6 | 5 | 5 | 5 | 5 | 6 | 5.5 |
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特征值为 2.5 的情形,只有一种 2棱 3角 的情况。但是依然可以弄出三种变形。63.435° 这样小的面面角,只能有三个面,并且角块的角是 36°,这正好是五角星的角,十分尖。因此原形的百慕大2½魔方的形状就像一个尖锐的箭矢。可以称为百慕大箭矢魔方(Burmuda 2½ Arrow)。还可组合出非常好看的五角星异形,百慕大星辰魔方(Burmuda 2½ Star)。
当然,星辰与箭矢与圣斗士没什么关系,只是形状像而已。这个魔方总共有 3面 3棱 4角,与单元魔方一样。事实上,它们也同构的。箭矢和星辰多了一些形状上的变化。这两个魔方由于面到中心的距离短,三条轴又过于接近共面,结构上比较难搞。做成事物的话,容易散架,不过摆在那里还是挺好看的。
下面是我的在线魔方程序中的截图
在线玩的地址是:
https://mc.fenzland.com/?puzzle=Burmuda(2%C2%BD)Arrow(1~0,1~0,1~0,)
下面这是同构的单元魔方,可以用于辅助
https://mc.fenzland.com/?puzzle=Unit|1
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