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一道题求助 [复制链接]

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发表于 2022-5-10 15:32:35 来自手机 |显示全部楼层
求一个多面体(无通孔)面、棱、角的数量关系,并证明

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两年元老

发表于 2022-5-10 23:50:09 |显示全部楼层
百度搜索欧拉公式能找到证明,关系是面数加顶点数减棱数等于二

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发表于 2022-5-11 15:00:02 |显示全部楼层
本帖最后由 假木瓜 于 2022-5-11 17:21 编辑

印象中高中课本里是把这个问题转化成球面三角的问题来证的。

先把不是三角形的面划分成三角形,由于每增加一条边就增加一个面,所以V-E+F不变。

放一个光源在凸多面体内的一点,再放一个球心在光源处的球面幕布在凸多面体的外面。凸多面体的棱的影子投到幕布上构成这个球面的一个三角剖分。

每条边都在两个三角形上,每个三角形有3条边。
3F=2E

单位球的表面积是4π,任意通过球上的大圆弧定义的球面三角形的三个角的和等于π+球面三角形的面积

计算全部三角形的角的和

(4 + F)π = 2Vπ

后面的你自己算一下就行了。

有些符号打了会消失,头疼。

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