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奇偶差异性魔方 [复制链接]

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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2008-8-22 12:18:32 |显示全部楼层
本主题以前在循环变换理论中提到过,现在专门为大家“科普一下”!





“奇偶差异性魔方”的定义


定义:如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换,则称这个魔方具有“奇偶差异性”
称这样的魔方为“奇偶差异性魔方”。

即:奇偶差异性魔方,只能有步长为偶数的循环变换。

例如:

1、2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”,她只有长度为 2、4、6、8 的循环变换;




2、0123 魔方 具有“奇偶差异性”,她只有长度为 2、4、6 的循环变换;




3、通常意义的 正六面体 N 阶魔方 全部都 具有“奇偶差异性”,因为她们只有长度
为偶数的循环变换。 注意:旋转 180 度按两步计算



有意思的是:如果一个具有“奇偶差异性”的魔方,同时具备这个魔方所在的空间各个
方向的几何对称性,那么这个魔方具有“奇、偶状态数相等”的属性,当然 奇、偶状态数
都是 总状态数 的一半


比如上面举的三种“奇偶差异性”魔方的奇、偶状态数相等,都是总状态数的一半。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:35 编辑 ]
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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2008-8-22 12:20:31 |显示全部楼层
“奇偶差异性”魔方的性质

“奇偶差异性”魔方的性质:具有“奇偶差异性”的魔方 的 奇、偶状态 独立

由于 “奇偶差异性”的魔方 只能有步长为偶数的循环变换,因此决定了她的任何 奇数
步长 的变换都无法被 偶数 步长 的变换 表示,从而决定了这种魔方的“奇、偶差异性”,
即 这种魔方 的 奇、偶状态 独立。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:36 编辑 ]
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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2008-8-22 12:22:19 |显示全部楼层
 魔方的“最远状态”与“奇偶性”无关

大家或许以为这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 有关,实际上
这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 是没有任何关系的。

以下是引用大烟头在2005-10-4 13:27:03的发言:
三阶魔方有二种状态:扰动状态,非扰动状态。它们的总状态数是一样的,而且随着步长交叉出现的。
这现象是否说明离魔方初始状态的最远状态是扰动状态!
这两个状态就象两只手叉在一起,相互距离最远的手指不是同属于一个手掌内,初始状态是非扰动状态,那它的最远状态就是扰动状态!
不知我这想法有没有道理?
[em01]

魔方的“最远状态”与 “奇偶性” 无关

即:魔方的“最远状态”独立存在于“奇偶性”或者所谓的“扰动”、“非扰动”之外。

为简明起见,这里引用 乌木 先生的“ 2×2 平面魔方”图解给大家看看:



乌木 先生的“ 2×2 平面魔方”图解给大家展示了“最远状态”是偶数 4 的例子。
“最远状态”是奇数的例子也很简单:

如 0123 魔方,它的“最远状态”是奇数 3 。


她们两个具有共同的属性:奇、偶状态数相等,都是总状态数的一半。但“最远状态”
却可奇可偶。 因此 烟头 的论断有误,比如 正六面体二阶魔方 的最远状态步数为偶数
注:旋转 180 度按两步计算


关于“正六面体三阶魔方”的最远状态的论述,请大家参考:魔方的最远状态要几步复原

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:37 编辑 ]
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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2008-8-22 12:23:51 |显示全部楼层
虽然这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 无关,但是这种魔方
的“最远步长”却有极好的特性:

以下是引用ggglgq在2004-6-24 8:08:40的发言:

定理一: 设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ,
并设:a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换,
设这个变换为 A ,
即:A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ,又设 d 为任一个步长为 1 的变换,
那么:对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ,
使得:A = B 。

证明:假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左无效,则得到存在 i ,
使得 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = ai a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax
并且 d = ai ,此时设 B = d a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 即得结论。
假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效,因魔方的最长变换的
长度为 x,因此对于变换 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 必不是最少步变换,
假设它的一个最少步变换为 b1 b2 b3 ...... bn (n <= x),
则 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) = 1 ,
a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) = 1 ,
设 B = d b1 b2 b3 ...... bn ,则 A = B 。
因 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效,而 变换 B 又由 d 开始,
故 B 与 A 是不同的变换,且length(A)=x,length(B) <= x+1 = length(A) + 1 ,
又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换,
故 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 为广义循环变换,
又因该魔方为只有 [偶] 广义循环变换魔方,因此 n <= x - 1 。
(若 n = x ,则 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d)
构成 [奇] 广义循环变换,与只有 [偶] 广义循环变换的魔方 矛盾。)
因此 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = d b1 b2 b3 ...... bn ,(n <= x - 1)
又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中一个长度为 x 的最少步变换,
所以 n = x - 1 且 d b1 b2 b3 ...... bn 为最少步变换。
(若 n < x - 1 ,则 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < 1 + ( x - 1 ) = x
即 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < x ,与 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为一个长度为 x 的最少步变换 矛盾。同样若 d b1 b2 b3 ...... bn 非最少步变换,
亦得矛盾。)
即得 B = d b1 b2 b3 ...... bn ( n = x - 1 ),且 A = B 。因 n = x - 1 ,
所以 d b1 b2 b3 ...... bn ( n = x - 1 )为一个长度为 x 的最少步变换。
又因变换 B 由 d 开始,故定理得证。

同理,再由“有效变换的定义”可证得:
定理二: 设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ,
并设:a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换,
设这个变换为 A ,
即:A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ,又设 d 为任一个步长为 1 的变换,
那么:对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ,
使得:A = B 。





比如 2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”,因此她的最远变换可以从任意方向开始,也可以
从任意方向结束;




[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:38 编辑 ]
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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2008-8-22 12:26:12 |显示全部楼层
“奇偶差异性”魔方的判定

一、根据 “奇偶差异性”魔方的定义 判定:

对于某些魔方,我们可以直接通过“奇偶差异性”魔方的定义,判定
这个魔方是否是“奇偶差异性”魔方。

比如:1、 正十二面体三阶魔方 存在 步长为 5 的“循环变换”,故
正十二面体三阶魔方 “奇偶差异性”魔方。

2、2×2 平面魔方 只有长度为 2、4、6、8 的循环变换,因此
2×2 平面魔方是“奇偶差异性”魔方。



由于多数“奇偶差异性”魔方的“循环变换”数目很大,无法一一列举
来判定该魔方是“奇偶差异性”魔方,我们可以通过下面的 判定定理 来判定。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:59 编辑 ]
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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2008-8-22 12:27:19 |显示全部楼层
P>


二、根据 “奇偶差异性”魔方的判定定理 判定:


1、 魔方块的位态的“奇偶差异性”:用魔方步长为 1 的变换 移动
魔方块,如果 魔方块的位态 与 变换移动的步长 存在“奇偶”相关性,那么
我们称 这个 魔方块 的位态 具有“奇偶差异性”。 (即:魔方块的位态
与 移动魔方块的步长 具有“奇偶”相关关系,“奇数”的位态 只能“奇数”
步到达,“偶数”的位态 只能“偶数”步到达,不能互相参合)





2、“奇偶差异性”魔方的判定定理如果魔方的每个块所有位态都
具有“奇偶差异性”,那么 这个魔方具有“奇偶差异性”


定理的证明采用反证法:假设这个魔方非“奇偶差异性”,那么至少
存在一个长度为“奇数”的“循环变换”使得魔方的每个块都处在“偶数”的
位态。因此得到至少存在一个 魔方块 移动步长为“奇数” 却 处在“偶数”
的位态。 这与 该魔方的每个块的所有位态都具有“奇偶差异性”矛盾,
故定理得证。

上面的定理告诉我们,只须考察 魔方的 所有块 的 所有位态 是否
具有“奇偶差异性”,就可以判定 这个魔方 是否 具有“奇偶差异性”了。
说是 魔方的 所有块 ,实际往往根据魔方的对称性,只须判定几个“代表块”,
其它的可同理得证。








[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:59 编辑 ]
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六年元老

发表于 2008-8-22 12:34:04 |显示全部楼层
好复杂啊 ,看了半天只是看了一点点
欢迎广大中山魔友与我联系交流.~.~.

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六年元老

发表于 2008-8-22 12:34:44 |显示全部楼层
这是谁的研究,看不大明白啊
你即使是一条搁浅在沙滩上的鱼,也必须要学会行走。QQ:351796610已满,请加MSN:sun-shine-yu@live.cn
http://shop65338937请勿打广告com/晨曦魔方空间 全场特价

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发表于 2008-8-22 12:41:31 |显示全部楼层
没心思看,先记下了,哪天需要时再来仔细研究

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发表于 2008-8-22 12:44:08 |显示全部楼层
奇偶性魔方计算所有情况个数比较简单

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