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发表于 2005-10-9 16:55:13 |只看该作者

循环变换的迷雾——“无效变换”

1.有效变换、无效变换的定义：

2.引用“宇宙飞碟”有关“缩回变换”说明：

3.引用“乌木先生”对“循环变换球面网”的错误认识：

4.引用“邱志红”在《续一式解万方》中把“无效变换”当“循环变换”用：

5.小结：请大家理解运用“循环变换”知识时，一定要正确理解“循环变换”
的定义，不要和假循环变换“无效变换”混淆。因为她可能影响您对“循环变换”
的其他相关问题的思考。

即：理解“循环变换”首先要理解“有效变换”，理解“有效变换”首先要
绕过循环变换的迷雾——“无效变换”。

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发表于 2005-10-9 17:56:57 |只看该作者

以下是引用乌木在2005-10-9 19:51:34的发言：

一时找不到我6.15.那话在哪里说的，不管它了。

1、“UDU'D'”是个循环变换，以及与之相应的四个态构成

的“四边形”，都是客观存在；

再小的循环不存在。好像当时我仅是说明这一点而已。

当时我还没“有效无效”的概念。

如果它是无效变换，并不影响它是个循环变换。

“有效无效”和“循环不循环”好像是两个概念。

2、好像当时我只是讨论“态态关系网”，其中不能排除“UDU'D'”

这一“网眼”。而您现在所说的网仅是“态态关系网”中

按一定要求“提炼”出来的一种网。

如果现在我要把“UDU'D'”纳入您现在所说的网，

那才谈得上“对……的错误认识”。

3、申诉之余，您的“纠错”还是有积极作用的：

今后不要把无效变换错误地纳入“循环变换球面网”才是。

答复请您见下贴。

[此贴子已经被作者于2005-10-10 8:56:38编辑过]

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发表于 2005-10-9 18:25:56 |只看该作者

以下是引用乌木在2005-10-9 19:51:34的发言：

1、“UDU'D'”是个循环变换，以及与之相应的四个态构成

的“四边形”，都是客观存在；

再小的循环不存在。好像当时我仅是说明这一点而已。

当时我还没“有效无效”的概念。

如果它是无效变换，并不影响它是个循环变换。

“有效无效”和“循环不循环”好像是两个概念。

乌木先生您对“循环变换”的理解有误，请您看“循环变换”的定义。

以下是引用ggglgq在2004-6-3 14:33:33的发言：

2.魔方循环变换的定义：
对于有效变换 A ，如果 A = 1 ，并且 any(circle0(A),half(A))
都是最少步变换，则称变换 A 为循环变换。记作：
循环变换 A 或 circle(A)

即：“循环变换”是“有效变换”，“无效变换”一定不是“循环变换”。

只有当一个变换是“有效变换”时才考虑它是否是“循环变换”，只有
极个别的“有效变换”是“循环变换”。“循环变换”的概念要求极其苛刻！

如果按您的理解，小于 4 的循环不是不存在，比如 F F' 就是长度为 2
的循环！这显然不对，就是因为它是“无效变换”！

[此贴子已经被作者于2005-10-10 8:51:26编辑过]

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发表于 2005-10-10 10:02:38 |只看该作者

楼上的话我大体清楚了，但有点问题，与您探讨探讨。
1、从“循环变换”四个字的一般意义来说，应该指从某态A出发，步步变换，如迷路于大森林中一般，不管其“找A”的路线是什么形状，甚至包括“上天入地”，即回到A之前的路线看上去可以是“一团乱麻”，一旦回到A，即完成一个循环变换周期。
理所当然，仅仅A－A这种循环变换就是很多很多的。（能否说是无数的？）您说的循环变换仅是上述循环中符合特定性质的一类。
建议在您的循环变换之前冠以适当的限词或干脆更名。
2、广义来说，“F－F’”是一种特殊的循环变换。
可以设想F和F'之间有许多变换，“迷路者”绕了一大圈，发现回到了“家门口”，马上做个“F'”，即回到A了。把那些F和F'之间的许多变换，来个“快刀斩乱麻”，剩下“F－F'”这一特殊循环变换，并无不可。（完整地即 “A经F得B，再经F’ 得A” 。）当然，太简单了，也没啥内容了。正如三角形的一条边缩为一点时，另两边并成一根线段。硬说这一线段是“两边形”，并无不可，但一般来说没啥意思。

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-12 11:47 编辑 ]

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发表于 2005-10-10 17:46:51 |只看该作者

83楼乌木先生所提的疑问，也是我最想知道的东西了。

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发表于 2005-10-10 18:35:00 |只看该作者

乌木先生：

（能否说是无数的？）大多数人理解的“循环”可以说是“无数的”！
正是因为这种无规律的“无数”，使人忽略了它更深层次的“浓缩”！
“循环变换”概念就是这种“浓缩”意义上的“循环”，她的定义
使得“循环变换”个数“有限”，并且她的个数不大于她所对应的魔方
的总状态数。（注：由旋转、对称得到的“循环变换”，可归为“同一”
“循环变换”）

（建议在您的循环变换之前冠以适当的限词或干脆更名。）这个建议
很好。我想，您理解的“循环变换”可能就是“循环”吧。呵呵，把您搞
糊涂了。我当初也怕大家也糊涂，特地把“循环变换”的定义写在最前面，
可是大家还是被所谓的“循环”搞糊涂了。
我想，不妨把她叫做“紧致循环变换”或“浓缩循环变换”等之类的
名称，您看哪个更合适？或者另取其他限词？总之，“循环变换”这个词
是不能缺少的吧？您看呢？

另外，“循环变换”理论现在还处于刚起步阶段，我想等她发展较为
成熟后再考虑重新改版，那时再对其所有名称定义规范一下。现在大家先
将就着理解。我想，现在就让大家慢慢体会这种“紧致循环变换”没什么
不好，至少可以让大家理解其中的所有“半子变换”都是“最少步变换”，
很有意义的。也好让有这方面才能的广大爱好者积极参与“最少步变换”
的研究工作。您看呢？

[此贴子已经被作者于2007-5-26 17:23:20编辑过]

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发表于 2005-11-16 10:47:39 |只看该作者

“奇偶差异性魔方”的定义          定义：如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”，  称这样的魔方为“奇偶差异性魔方”。    
    即：奇偶差异性魔方，只能有步长为偶数的循环变换。   
    例如：  
     
    1、2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6、8 的循环变换； 
  <IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border=0>            2、0123 魔方具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6 的循环变换； <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0802/20080209_1cd15052fcee1c9c484e3i2bOMPGzKbl.png" border=0>            3、通常意义的正六面体 N 阶魔方全部都具有“奇偶差异性”，因为她们只有长度 为偶数的循环变换。  注意：旋转 180 度按两步计算 。     
     有意思的是：如果一个具有“奇偶差异性”的魔方，同时具备这个魔方所在的空间各个 方向的几何对称性，那么这个魔方具有“奇、偶状态数相等”的属性，当然 奇、偶状态数 都是总状态数的一半。       比如上面举的三种“奇偶差异性”魔方的奇、偶状态数相等，都是总状态数的一半。               
 

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 12:18 编辑 ]

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发表于 2005-11-16 10:51:21 |只看该作者

“奇偶差异性”魔方的性质
   “奇偶差异性”魔方的性质：具有“奇偶差异性”的魔方的奇、偶状态独立。     
    由于 “奇偶差异性”的魔方只能有步长为偶数的循环变换，因此决定了她的任何奇数 步长的变换都无法被偶数步长的变换表示，从而决定了这种魔方的“奇、偶差异性”， 即这种魔方的奇、偶状态独立。    
   正六面体 N 阶魔方所谓的“扰动”、“非扰动” 本质上就是这种魔方的“奇、偶差异性”。 这是因为她不存在步长为奇数的循环变换造成的。这不能不说是“缺憾”，可惜的是正六面体 N 阶魔方都是这种具有“缺憾”的魔方。   
    反过来说，比如正十二面体五魔方存在长度为 5 的循环变换，所以正十二面体五魔方 不是“奇偶差异性”的魔方，因此正十二面体五魔方不存在所谓的“扰动”、“非扰动” 。
                 
 

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:28 编辑 ]

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发表于 2005-11-16 11:06:22 |只看该作者

魔方的“最远状态”与“奇偶性”无关 
     大家或许以为这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 有关，实际上 这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 是没有任何关系的。 
<DIV class=quote>以下是引用大烟头在2005-10-4 13:27:03的发言： 
三阶魔方有二种状态:扰动状态,非扰动状态。它们的总状态数是一样的，而且随着步长交叉出现的。
这现象是否说明离魔方初始状态的最远状态是扰动状态！
这两个状态就象两只手叉在一起，相互距离最远的手指不是同属于一个手掌内，初始状态是非扰动状态，那它的最远状态就是扰动状态！
不知我这想法有没有道理？[em01]</DIV>

     魔方的“最远状态”与 “奇偶性” 无关。   
即：魔方的“最远状态”独立存在于“奇偶性”或者所谓的“扰动”、“非扰动”之外。
 为简明起见，这里引用乌木先生的“ 2×2 平面魔方”图解给大家看看：
<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border=0>  
     乌木先生的“ 2×2 平面魔方”图解给大家展示了“最远状态”是偶数 4 的例子。
“最远状态”是奇数的例子也很简单：   <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0802/20080209_1cd15052fcee1c9c484e3i2bOMPGzKbl.png" border=0>      如  0123  魔方，它的“最远状态”是奇数 3 。     
     她们两个具有共同的属性：奇、偶状态数相等，都是总状态数的一半。但“最远状态” 却可奇可偶。因此烟头的论断有误，比如正六面体二阶魔方的最远状态步数为偶数。  注：旋转 180 度按两步计算   
     关于“正六面体三阶魔方”的最远状态的论述，请大家参考：<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=514&extra=&page=2">魔方的最远状态要几步复原</A>。
                    

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:17 编辑 ]

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发表于 2005-11-16 11:16:56 |只看该作者

虽然这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 无关，但是这种魔方 的“最远步长”却有极好的特性： 
<DIV class=quote>以下是引用ggglgq在2004-6-24 8:08:40的发言： 
 定理一：设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ， 并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换， 设这个变换为 A ， 即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换， 那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ， 使得：A = B 。
证明：假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左无效，则得到存在 i ， 使得 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = ai a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 并且 d = ai ，此时设 B = d a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 即得结论。 假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，因魔方的最长变换的 长度为 x，因此对于变换 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 必不是最少步变换， 假设它的一个最少步变换为 b1 b2 b3 ...... bn （n <= x）， 则 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) = 1 ， a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) = 1 ， 设 B = d b1 b2 b3 ...... bn ，则 A = B 。 因 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，而变换 B 又由 d 开始， 故 B 与 A 是不同的变换，且length(A)=x，length(B) <= x+1 = length(A) + 1 ， 又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换， 故 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 为广义循环变换， 又因该魔方为只有 [偶] 广义循环变换魔方，因此 n <= x - 1 。 （若 n = x ，则 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 构成 [奇] 广义循环变换，与只有 [偶] 广义循环变换的魔方矛盾。） 因此 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = d b1 b2 b3 ...... bn ，(n <= x - 1) 又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中一个长度为 x 的最少步变换， 所以 n = x - 1 且 d b1 b2 b3 ...... bn 为最少步变换。 （若 n < x - 1 ，则 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < 1 + ( x - 1 ) = x 即 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < x ，与 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换矛盾。同样若 d b1 b2 b3 ...... bn 非最少步变换， 亦得矛盾。） 即得 B = d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ），且 A = B 。因 n = x - 1 ， 所以 d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ）为一个长度为 x 的最少步变换。 又因变换 B 由 d 开始，故定理得证。
 同理，再由“有效变换的定义”可证得： 定理二：设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ， 并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换， 设这个变换为 A ， 即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换， 那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ， 使得：A = B 。 </DIV> 
     比如 2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，因此她的最远变换可以从任意方向开始，也可以 从任意方向结束； <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border=0>               

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:29 编辑 ]

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