[原创]魔方循环变换理论概述 （待完善）

notabdc

先提一个意见，建议把“变换A”改称为“变换序列A”，因为A的值等于1，没有什么可讨论的，关心的其实是"a1,a2,.."这个序列。

notabdc

我来给circle0(A)的概念下个定义，你看看是不是这样更清楚：

设序列变换序列A=（a1,a2,...an）。则定义circle0(A)为如下n个序列的集合：

circle0(A)= { (a1,a2,..an),(a2,a3,...an,a1), ...(an,a1,a2,...a[n-1]) }

"首尾无关性"是不是指的这么一回事，若A是循环变换序列（这里我为概念加了“序列”两个字），则对于任意属于circle0(A)的变换序列B=(b1,b2,...bn)，有：

（1） circle0(B)=circle0(A)

（2） b1*b2...*bn=1

因此，若A是循环变换序列，则从任何一个基本变换a开始都没有区别。

我这样的描述是否完整表现了你的意思？

ggglgq

非常欢迎 notabdc 能参与 《魔方循环变换理论》 的探讨，我们共同 完善《魔方循环变换理论》，弥补《魔方循环变换理论》存在的不足。 “notabdc”，如果我没猜错的话，你应该就是“葛永”，这是我们第 二轮打交道了，希望能合作愉快！

我想对于《魔方循环变换理论》有几点需要说明的： A.如果有些概念可以直接从字面上理解的话，我想应该是不用定义的， 有的举例说明一下就可以了。当然如果这个概念会产生异议，我们就必须来 限定它的外延及内涵。因为我并不打算把我的这个理论搞得概念太多而影响 大家的理解，只想让最初接触它的人感觉它容易接受，而不象纯“魔方群” 那样让人感到恐惧。 B.因本人不会玩魔方，也没有时间玩，只是对“魔方群”比较感兴趣， 突发《魔方循环变换理论》的想法，目的就是想借助这一理论，编程实现计 算机最少步还原魔方。对于很多魔方术语还不了解，可能有说的不对的地方 希望大家及时批评指正，谢谢。

下面就以下几方面与 notabdc 探讨： 1.对于 [把“变换 A”改称为“变换序列 A”]的问题，我在一开始就说明： [ 在本理论中，统一规定： 小写字母表示步长为 1 的变换； 大写字母表示由步长为 1 的变换构成的变换。] 因此，加上“序列”好象意义不大，再说序列好象不太具备“旋转”的特点。 不知大家对此有何看法，该如何处理这个基本概念呢？ 2.你给出的 [circle0(A)的概念] 及 “ circle(A) 首尾无关性” 的描述 基本表现了我的意思。我对于你严谨的态度表示赞赏。 3.“有效变换”的严格的定义，我还没有仔细想过，因为对于不同的魔方 很难给出统一的定义，比如：按钮开关可以看成最简单的魔方，设按一下为 a， 则 -a = a ，a a = 1， 单看 a a 是两次 a ，“有效”；但 a a 与 a (-a) 又是同一变换，马上就变成“无效”！因此对于“有效变换”的严格的定义， 我暂时还没想好。不知你是否能给“有效变换”下一个统一的严格的定义？

不知大家有什么其它建议，都提出来，我们共同完善《魔方循环变换理论》， 谢谢大家！

宇宙飞碟

看样子这两天魔方吧的人气比以前旺，斑竹还应感谢恩师在为你聚集人气呢！[em07][em01][em23][em24][em26][em27][em29]

cube_master

是的，我在这里谢谢 ggglgq 老师和各位的捧场和支持，当然还要谢谢 宇宙飞碟 噢！

[em24][em24][em24][em27][em25][em26]

notabdc

你前边的文字是提出了“循环变换”的概念，并且说明了它具有性质“首尾无关性”。这是万里长征第一步吧，请继续具体论述它是如何用于解决魔方问题的。

我个人认为，这个概念可能太特殊了。设a,b,c是一个“最小步”序列，那么如何从它构造一个“循环变换”呢？很自然的想法就是a,b,c,(-c),(-b),(-a)，但是这并不是“循环变换”，因为b,c,(-c)并不是“最小步”。

因为从现有的文字看来，“有效变换”的含义好像有点过于宽泛，凡是现有概念包容不了的内容都被它给一口吃下去了。所以我无法猜测它到底要表达的是什么意思，请你问一下宇宙飞碟老弟他的思路，再来下个定义。

[此贴子已经被作者于6/10/2004 1:13:22 PM编辑过]

宇宙飞碟

cube_master 不必太客气！[em07]

ggglgq

cube_master 先生不必客气！

notabdc ，请问怎么不见你网站的座上客 三阶魔方软件开发者 金优 先生、五魔方软件开发者 胡波 先生 等 来这儿坐坐呢？很想和大家一起 聊聊魔方编程的问题。

下面还是和大家谈谈有关 “循环变换 [集合] 的构造” 的问题吧：

六、（步长为偶数的）循环变换 [集合] 的构造

1.构造步长为 1 的变换 a ，设 A 为 a ，执行 5 。 2.撤消 上一步 的构造，如果所有步长为 1 的变换都已遍历，则结束 构造循环变换；否则设撤消后的变换为 A ，执行 3 。 3.在 A 的基础上构造下一个 步长加一 的有效变换 A ，执行 4； 若 构造不存在，则执行 2 。 “ 例如：此时 A 为 a b c ... d ” 4.如果 A 不是最少步,则执行 2 。 5.如果 A 不是唯一最少步，即存在另一个与 A 不同的变换 B ，使得 A = B [ B 可能不只一个，有几个就要执行几次 ] ，执行 6 ；否则执行 3 。 6.设 C 为 A (-B) [ 其中：-B 表示 B 的逐元逆变换， 如 B = a b c ，则 -B = (-c) (-b) (-a) ] ， 如果 any(circle0(C),half(C)) 都是最少步变换，则 C 为一个循环 变换，执行 7 ；否则执行 3 。 7.让 循环变换 C 与前面（构造好的）那些循环变换比较是否相同，若 不相同则添加 循环变换 C 并保存这些（新构造的）循环变换；否则不保存 这个循环变换 C 。 8.执行 3 。

现在的问题是魔方最少步最长的变换的长度一般都无法确定，如果确定 某一魔方最长变换的长度为 Max ，便可在 3 判断如果 length(A) >= Max ， 则执行 2 ，缩短程序运行时间。 当然，上面的步骤只是一个最简易的“循环变换 [集合] 构造”的方法， 实际应用还要对以上八步进行优化，比如判断 7 所构造的 循环变换 是否与 前面已（构造好的）循环变换在 旋转、对称 时相同，若相同则不保存这一 循环变换等。

欢迎大家在“循环变换 [集合] 的构造”的问题上进行广泛的探讨。

[此贴子已经被作者于6/17/2004 10:47:06 PM编辑过]

notabdc

以下是引用ggglgq在6/11/2004 5:19:28 PM的发言：

notabdc ，请问怎么不见你网站的座上客 三阶魔方软件开发者 金优 先生、五魔方软件开发者 胡波 先生 等 来这儿坐坐呢？很想和大家一起 聊聊魔方编程的问题。

你可以用电子邮件请呀!

下面还是和大家谈谈有关 “循环变换 [集合] 的构造” 的问题吧：

六、循环变换 [集合] 的构造

1.构造步长为 1 的变换 a ，设 A 为 a ，执行 5 。 2.撤消 上一步 的构造，如果所有步长为 1 的变换都已遍历，则结束 构造循环变换；否则设撤消后的变换为 A ，执行 3 。 3.在 A 的基础上构造下一个 步长加一 的有效变换 A ，执行 4； 若 构造不存在，则执行 2 。 “ 例如：此时 A 为 a b c ... d ” 4.如果 A 不是最少步,则执行 2 。

请问判定A是否是最小步具体如何执行？复杂度是多少？

5.如果 A 不是唯一最少步，即存在另一个与 A 不同的变换 B ，使得 A = B [ B 可能不只一个，有几个就要执行几次 ] ，执行 6 ；否则执行 3 。

如何判定A是否是唯一最小步？如果不是，如何找到B？复杂度是多少？

6.设 C 为 A (-B) [ 其中：-B 表示 B 的逐元逆变换， 如 B = a b c ，则 -B = (-c) (-b) (-a) ] ， 如果 any(circle0(C),half(C)) 都是最少步变换，则 C 为一个循环 变换，执行 7 ；否则执行 3 。

同样，如何判定这些是最小步？

7.让 循环变换 C 与前面（构造好的）那些循环变换比较是否相同，若 不相同则添加 循环变换 C 并保存这些（新构造的）循环变换；否则不保存 这个循环变换 C 。 8.执行 3 。

现在的问题是魔方最少步最长的变换的长度一般都无法确定，如果确定 某一魔方最长变换的长度为 Max ，便可在 3 判断如果 length(A) >= Max ， 则执行 2 ，缩短程序运行时间。 当然，上面的步骤只是一个最简易的“循环变换 [集合] 构造”的方法， 实际应用还要对以上八步进行优化，比如判断 7 所构造的 循环变换 是否与 前面已（构造好的）循环变换在 旋转、对称 时相同，若相同则不保存这一 循环变换等。

欢迎大家在“循环变换 [集合] 的构造”的问题上进行广泛的探讨。

cube_master

呵呵　原来 notabdc 大名鼎鼎的“葛永”，欢迎！

希望大家在这里只是讨论魔方上的理论问题，不要附带任何个人感情。也希望有更多的人参与讨论ggglgq 老师主话题。

[此贴子已经被作者于6/12/2004 1:04:03 AM编辑过]