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楼主: ggglgq

[原创]魔方循环变换理论概述 (待完善) [复制链接]

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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2005-4-16 09:29:59 |显示全部楼层

魔方状态变换序列

先给一个“终极状态”的特例:(请参考“终极状态”)

本文所涉及的内容默认为“正六面体三阶魔方”,可以很容易扩展到其它各类 魔方中去。为使结论尽量不产生偶然的冲突,特规定 旋转 180 度为 2 步!

为了阐述方便,下面先引入几个描述性的概念: 描述性理解的概念有:状态、终极状态、路过、偶尔路过、出路

1.状态:本文所提的所有的“状态”均为从“初始状态”出发,由某一最少步 变换序列而产生的“状态”。通常我们用这个最少步变换序列表示这个“状态”。 一个“状态”往往可以有很多“最少步变换序列”! 比如:从 初始状态 出发,由最少步变换序列 r1 r1 产生的状态,记作: 状态 r1 r1 。当然 状态 r1 r1 有两个最少步变换序列: r1 r1 和 r3 r3 。

2.路过:如果 状态 A 的步长大于 1 ,并且最少步变换序列 A 是唯一最少步, 变换序列 B 为去掉 变换序列 A 最后 一个 步长为 1 的变换 的 任一子变换序列, 此时我们称 状态 A “路过” 状态 B 。 比如:状态 r1 u1 f1 是唯一最少步变换序列,则 状态 r1 u1 f1 分别 路过 状态 r1 、状态 u1 、状态 r1 u1 。

3.偶尔路过:如果 状态 A 的步长大于 1 ,并且变换序列 A 不是唯一最少步, 变换序列 B 为去掉 变换序列 A 最后 一个 步长为 1 的变换 的 任一子变换序列, 此时我们称 状态 A “偶尔路过” 状态 B 。 比如:状态 r1 r1 不是唯一最少步变换序列,则 状态 r1 r1 分别 偶尔路过 状态 r1 、状态 r3 。 这是因为 状态 r1 r1 和 状态 r3 r3 为同一状态的 两个最少步变换序列。

4.终极状态:设 c 为任意一个步长为 1 的变换,对于状态 A 存在一个由 c 结束的最少步变换序列 B ,使得 A = B ,则称状态 A 为“终极状态”。 由 [宇宙飞碟] 的 离初始状态最远的图案 的定理可知: 任一 离初始状态最远的状态 都为 终极状态 ,但反过来说却是错误的!

5.出路:如果 状态 A 不是 终极状态,我们称 状态 A 有 “出路” 。 只有 状态 A 有 出路时,我们才有可能沿着状态 A 的 出路 构造比 状态 A 更远的 状态 !而寻找这种 出路 ,照目前看来,在没有更先进的理论面世之前, 也只能用“循环变换”理论更容易些了!

定理:任一 状态 不 偶尔路过 某一 终极状态

证明非常简单,因为若一个状态 P 偶尔路过 某一 终极状态,设状态 P 变换序列为 a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an ,其中 b1 b2 ... bm 为终极状态,那么对于这个 终极状态 b1 b2 ... bm ,存在一个由 c 结束的最少步变换序列 c1 c2 ... c(m-1) c , 使得 b1 b2 ... bm = c1 c2 ... c(m-1) c ,这时我们发现,变换序列 P 已经变为 a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an = a1 a2 ... c1 c2 ... c(m-1) c -c ... an , a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an = a1 a2 ... c1 c2 ... c(m-1) ... an ,即说明 P = a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an 不是 最少步变换序列,这与 状态 的概念矛盾, 故定理得证。

由上面的定理直接得到: 离初始状态最远的状态 不 偶尔路过 某一 终极状态

这个定理告诉我们,如果一个状态是 终极状态 ,那么它有可能是一个 离初始状态 最远的状态 ,如果它不是 最远的状态 ,那么我们不可能再通过这个 终极状态 来构造 其它任何 状态 ,当然更不可能通过这个 终极状态 来构造 离初始状态最远的状态 了! 呵呵,希望魔友们在寻找 离初始状态最远的状态 时一定要避开 终极状态 的暗礁呀!

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发表于 2005-5-6 19:45:10 |显示全部楼层
对循环变换我不懂,这里仅对老猫那16步提个问题。为何要写成“UULLRRU'DDU'LLRRDD”而不写成“UULLRRDDUULLRRDD”呢?

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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2005-5-7 12:14:41 |显示全部楼层

乌木 先生的问题很好!UULLRRU'DDU'LLRRDD 与 UULLRRDDUULLRRDD 都是 循环变换, 但略有不同,比如“UULLRRU'D”与“UULLRRDD”两个子最少步就不一样。

总之,“魔方的循环变换”有很多,在用计算机编程解决具体某一魔方最少步问题时, 要对生成的循环变换库进行最大限度的优化,删减相近的循环变换,并要包含所有最少步, 使得循环变换库最小。

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发表于 2005-5-23 15:10:11 |显示全部楼层
楼上回答我:“UULLRRU'DDU'LLRRDD 与 UULLRRDDUULLRRDD 都是 循环变换,但略有不同,比如‘UULLRRU'D’与‘UULLRRDD’两个子最少步就不一样。”

我当然还是不懂,未入门嘛。我现只能理解为:把...DDUU...或...UUDD...写成...U'DDU'...是 “别有用心” 的,大概门外人入门后自会懂其奥妙的。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-12 11:56 编辑 ]

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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2005-5-29 09:55:23 |显示全部楼层

循环变换球面网



看到大家这两天都在研究“魔方网”,我也来这儿补补“循环变换球面网”!

要我说,“魔方态关系网”可以看成均匀分布在一个大球面上。这个球面的大圆就是长度最大的
“循环变换”,每一个“循环变换”都是这个球面上的大圆或小圆。呵呵,这只是一个形象的比喻。
所谓大圆就是球体表面最大的圆,它的特点是圆心就是球体的球心,其它的圆心不过球心的圆叫小圆。


大家可以研究一下“循环变换关系网”、“广义循环变换关系网”、“算子循环变换关系网”等等,
以及它们的异同并绘制它们的图形样本,这对大家的“各种网”都有帮助!我初步考虑可以这样绘制:

1.循环变换:圆(正三角、正方形等等都是“圆”)

2.广义循环变换:封闭的不规则图形

3. N 阶(即周期为 N )算子循环变换: N 个全等花瓣连成的封闭图形

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发表于 2005-5-30 08:03:23 |显示全部楼层

我构造的 2×2 平面魔方“循环变换球面网”



2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网”
为“正八面体的循环变换球面网”(如图)。

请各位魔友注意,图中 A --> B 箭头表示:从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。
图中不带箭头的可以互相转换;但带箭头的是不能互相转换的,转换后还需整体旋转。

我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示(D 、 L 、 R 操作同理):
U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转;
U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转;
U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度;
U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。


由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出, 2×2 平面魔方“循环变换”
只有三种:

1. 步长为 2 的循环变换:如 U U (两点式圆)

2. 步长为 3 的循环变换:如 D R U- (正三角圆)

3. 步长为 4 的循环变换:如 D U D U (正方形圆)


其他的封闭多边形均是“广义循环变换”,当然可以构造出 N 阶(即周期为 N )算子循环
变换。请感兴趣的魔友自己试试!

由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出,2×2 平面魔方总状态数只有 6 个
(经过整体旋转后相同的为同一状态)。最小循环变换为 2 个步长,最大循环变换为 4 个步长。

由最大循环变换为 4 个步长立即得到: 2×2 平面魔方
最远状态的最少步只有 2 个步长
。[em07]
(即得 2×2 平面魔方任意两个状态之间最多需要 2 步),
比如: D U 就是 2×2 平面魔方的一个最远状态!



[此贴子已经被作者于2005-5-30 11:53:22编辑过]

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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2005-5-30 08:48:54 |显示全部楼层


从上面的例子,大家可能对“循环变换球面网”已有了更进一步的认识。实际上各类魔方的
“循环变换”都构成“循环变换球面网”!

不过,请大家注意,这个“循环变换球面网”的球面可能不是“三维空间的球面网”,而是
“高维空间的球面网”!

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发表于 2005-5-30 11:24:42 |显示全部楼层


为了大家便于理解 2×2 平面魔方总状态数只有 6 个,我把这 6 个状态“解压缩”展开
给各位看(借用乌木先生的图)!

再附上“正八面体的循环变换球面网”图,让大家对照理解!



2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网”
为“正八面体的循环变换球面网”(如图)。

请各位魔友注意,图中 A --> B 箭头表示:从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。
图中不带箭头的可以互相转换;但带箭头的是不能互相转换的,转换后还需整体旋转。

我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示(D 、 L 、 R 操作同理):
U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转;
U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转;
U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度;
U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。

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发表于 2005-5-30 13:56:33 |显示全部楼层
上午好像此处跟过帖,怎么看不到?再跟:
上面那网线改为经纬线,让它们也上球面来可能更好。
高维的东西能否尽量投影到三维,人脑易接受。

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魔方理论探索者 十年元老

发表于 2005-5-31 09:14:44 |显示全部楼层

下面再给出两个 2×2 平面魔方 24 态的关系网(它们不是“循环变换球面网”,因为
2×2 平面魔方 24 态“循环变换球面网”在三维空间中根本不存在,也就无法用三维空间
表示了。2×2 平面魔方 24 态“循环变换球面网”至少是一个四维空间的“球面网”。)

noski 先生的 24 态图:


乌木先生的24 态的关系网:


noski 先生的 24 态图是乌木先生的图的改进版,它们能够间接体现“循环变换球面网”。

因此 noski 先生的 24 态图已经是最好的用“三维立体图”构造“高维空间网”的表示
法了。但它不是 2×2 平面魔方 24 态“循环变换球面网”,而这个 24 态“循环变换球面网”
的确是存在的
,不过是我们无法用“三维立体图” 表示罢了!
因为三维空间根本不存在 24 个
顶点的正多面体!



[此贴子已经被作者于2005-6-1 12:29:46编辑过]

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