石头剪子布概率题(大家探讨一下)

R'cube

第一题的话还是很简单的
甲1   乙3
  2     5
  3     7
。。。。
  n     2n+1


P=lim(n趋近于无穷)[0.5+(0.5)^4+(0.5)^7+(0.5)^10+...+(0.5)^(2n+2)]
=lim(n趋近于无穷)[0.5+(0.5)^4*[1-(0.5)^3n]*[1-(0.5)^3]]

[ 本帖最后由 R'cube 于 2009-1-29 19:41 编辑 ]

juventus66

懒的思考,顶一下

lcwumin

与魔方有关吗？？？？

R'cube

这个肯定没有关系啊~~~~

lulijie

11楼得出的
P=lim(n趋近于无穷)[0.5+(0.5)^4+(0.5)^7+(0.5)^10+...+(0.5)^(2n+2)]
是错误的。
甲1乙3概率没问题，为(0.5)^4
甲2乙5，概率算错了
    甲2乙5实际上就是第1次为甲赢，第2至第4次甲赢1次，第5-7次为乙赢，也就是以下三种情况：
    第1、2次甲赢或第1、3次甲赢或第1、4次甲赢，每种情况的概率为(0.5)^7
    所以概率为3 * (0.5)^7。

lulijie

而甲3乙7的概率：无非是以下情况：甲赢的轮次如下
    123，124，125，126，127
    134，135，136，137
    145，146，147
   总共12种情况，每种情况概率(0.5)^10,  所以甲3乙7的概率为12 * (0.5)^10
而甲4乙9的概率：无非是以下情况：甲赢的轮次如下
    1234，1235，1236，1237，1238，1239，123 10，
    1245，1246，1247，1248，1249，124 10，
    1256，1257，1258，1259，125 10，
    1267，1268，1269，126 10，
    1278，1279，127 10，
    1345，1346，1347，1348，1349，134 10，
    1356，1357，1358，1359，135 10，
    1367，1368，1369，136 10，
    1378，1379，137 10，
     1456，1457，1458，1459，145 10，
     1467，1468，1469，146 10，
     1478，1479，147 10，
   总共55种情况，每种情况概率(0.5)^13,  所以甲3乙7的概率为55 * (0.5)^13.
大家有没有从甲3乙7，和甲4乙9的各种情况种看出什么规律吗，
     甲4乙9的各种情况都是从甲3乙7的每种情况延伸而来的，甲3乙7的每种情况都可续出更多的情况，成半几何级数扩展。
     所以本题貌似简单，其实不尽然。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-1-30 12:39 编辑 ]

lulijie

第一题的总概率应该是以下数列的总和。
        数列通项公式：A(n)=K(n) * 0.5^(3*n+1)   (n>=0)
         其中   K(0)=1  ,   K(1)=1  , K(2)=3
         而K(n) 可以从 K(n - 3) 来求出，使用以下3重循环：
      -----------------------------------------------------------
         K(n)=0
         For k = 2 * n - 1 To 2 * n - K(n - 3)  Step  -1
              For j = 5 To k
                    For i = 3 To j
                          K(n) = K(n) + i
                    Next i
               Next j
         Next k
      -------------------------------------------------------------------------
通过电脑的高速计算能力，算出K(n)的前101项
1，1，3，12，55，273，742，1470，2607，4277，6620，9792，13965，19327，26082，34450，44667，56985，
71672，89012，109305，132867，160030，191142，226567，266685，311892，362600，419237，482247，552090
，629242，714195，807457，909552，1021020，1142417，1274315，1417302，1571982，1738975，1918917，
2112460，2320272，2543037，2781455，3036242，3308130，3597867，3906217，4233960，4581892，4950825，
5341587，5755022，6191990，6653367，7140045，7652932，8192952，8761045，9358167，9985290，10643402，
11333507，12056625，12813792，13606060，14434497，15300187，16204230，17147742，18131855，19157717，
20226492，21339360，22497517，23702175，24954562，26255922，27607515，29010617，30466520，31976532，
33541977，35164195，36844542，38584390，40385127，42248157，44174900，46166792，48225285，50351847，
52547962，54815130，57154867，59568705，62058192，64624892，67270385，
然后求A(n)的前N项的和S(N)，S(0)=0.5,从S(1)开始至S(100)的结果如下：
.5625，.5859375，.59765625，.6043701171875，.608535766601563，.609951019287109，.610301494598389，
.610379189252853，.61039512231946，.610398204997182，.610398774966598，.610398876575346，.61039889415315，
.61039889711833，.610398897607894，.610398897687238，.610398897699892，.610398897701881，.61039889770219，
.610398897702237，.610398897702244，.610398897702245，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，

从前24项和开始的值都等于0.610398897702246
所以第一题的概率等于0.610398897702246
------------------
有错误，见20#


[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-1-30 20:17 编辑 ]

lulijie

第一题的近似概率为61%,与电脑模拟算出的概率基本吻合。

kexin_xiao

LZ能给详细解答一下吗?我学习了

lulijie

17#：第一题的总概率应该是以下数列的总和。
        数列通项公式：A(n)=K(n) * 0.5^(3*n+1)   (n>=0)
         其中   K(0)=1  ,   K(1)=1  , K(2)=3
         而K(n) 可以从 K(n - 3) 来求出，使用以下3重循环：
      -----------------------------------------------------------
         K(n)=0
         For k = 2 * n - 1 To 2 * n - K(n - 3)  Step  -1
              For j = 5 To k
                    For i = 3 To j
                          K(n) = K(n) + i
                    Next i
               Next j
         Next k
      -------------------------------------------------------------------------
17# 中得出的计算K(n) 的三重循环公式，是观察16#的变化规律得出的，n=3,n=4,n=5都符合正确的结果，但计算n=6时，却出现了错误。所以千万不要想当然，想当然会出大错的。
实际上K(n) 的递推公式可以是如下：
        K(0) = 1
        K(1) = 1
      ---------------
        K(n) = Combination(3 * n - 2, n)                               Combination（A,B）表示组合数  从A个中任取B个的组合数。
        For i = 0 To n - 2
           K(n) = K(n) - K(i) * Combination(3 * n - 3 - 3 * i, n - i)
        Next i
    ------------------
用   甲157   表示甲在第1、5、7轮次胜出
K(0) 表示第一轮次乙就超过甲的总情况数，即  乙1  一种情况。
K(1) 表示第四轮次乙才超过甲的总情况数，只有  甲1（即乙234）  一种情况。
K(2) 表示第七轮次乙才超过甲的总情况数，只有  甲12，13，14  三种情况。

K(n)表示第(3*n+1)轮次乙才超过甲的总情况数,可以这样计算：
    最后3轮次必须都是乙胜出。甲总共胜出n次，乙总共胜出 2*n+1。
    所以甲的胜出轮次都在前3*n-2 轮次中，总情况为  Combination(3 * n - 2, n)   种，但要减去以下情况。
          乙在第一轮次就胜出的情况，即甲在第2轮次至第3*n-2轮次中胜出n次,总情况为K(0) *   Combination(3 * n - 3, n)  
          乙在第四轮次就胜出的情况，即甲在第5轮次至第3*n-2轮次中胜出n-1次,总情况为K(1) *   Combination(3 * n - 3-3, n-1)  
         ……
          乙在第(3*i+1)轮次就胜出的情况，甲在第3*i+2轮次至第3*n-2轮次中胜出n-i次,
                     总情况为K(i) *   Combination(3 * n - 3-3*i, n-i)  
          ……
          乙在第(3*n-5)轮次就胜出的情况，甲在第3*n-6轮次至第3*n-2轮次中胜出2次,
                      总情况为K(n-2) *   Combination(3, 2)  
         
所以就得出了上述红字部分的递推公式，由于电脑记录整数有个上限，所以n 较大时会溢出。
K（n）只算出以下部分：
1，1，3，12，55，273，1428，7752，43263，246675，1430715，8414640，50067108，300830572，1822766520，
前n项的和，算出以下部分：
.5625，.5859375，.59765625，.6043701171875，.608535766601563，.611259460449219，.613107681274414，
.614397019147873，.615315955132246，.615982183720917，.616471980232745，.616836266388418，.617109870199783，
.617317094761347，
第一题概率的近似值比0.617略大点。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-1-30 19:13 编辑 ]