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首位数为1的自然数的概率。 [复制链接]

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魔方理论探索者 智力游戏设计大师 十年元老

发表于 2006-3-21 09:25:37 |显示全部楼层

我们现在正在学习概率,我在一本书上看到了这个问题,感觉有争论价值。就贴出来

问题:首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是多少?

问题不简单哦,请冷静思考,再作回答。

[em05][em05][em05][em05]

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魔方理论探索者 论坛建设奖 爱心大使 十年元老

发表于 2006-3-21 18:42:55 |显示全部楼层

1~9:1/9=0.1111111……
10~19:11/19=0.5789……
20~99:11/99=0.111111……
100~199:111/199=0.5577889……
200~999:111/999=0.11111……
1000~1999:1111/1999=0.555777888……
2000~9999:1111/9999=0.11111……
10000~19999:11111/19999=0.555577778……
20000~99999:11111/99999=0.1111111……
100000~199999:111111/199999=0.555557777……
…………

好像呈有规律的摆动下降,“0.11111……”和“0.555555555……7777777……8888888……”,真可谓“还有完没完”?对邱兄的问题如何回答为好?

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发表于 2006-3-21 20:34:59 |显示全部楼层

不错,其实给一个确切的定值是不可能的。

但可以通过合理的平均得到一个统计值。

你可以用同样的方法计算一下,首位数为2的,为3……为9的自然数。

你就会发现其实它们出现的概率是不一样的,首1的可能性最大,首9的可能性最小。并不是大家第一感觉中的都占1/9。

其实这才我真正想说明的。

乌木先生的分析方法是相当正确,相当理性的。

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发表于 2006-3-21 21:25:12 |显示全部楼层

要从整体上思考,不要从局部去看这题

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发表于 2006-3-21 23:19:50 |显示全部楼层

2楼是从一系列“关节点”看那概率的变化,若逐个看n,概率值P依次为:1/1=1,1/2=0.5,1/3=0.333……,1/4=0.25,1/5=0.2,1/6=0.1666……,1/7=0.1428……,1/8=0.125,1/9=0.111……,到n=10时,P=2/10=0.2,接着依次为:3/11=0.272727……,4/12=0.333……,5/13=0.3846……,6/14=0.4285……,7/15=0.4666……,8/16=0.5,9/17=0.5294……,10/18=0.5555……,11/19=0.5789……,接着依次又下降:到n=20时,P=11/20=0.55,后面是:11/21,11/22,11/23,11/24,……,n=99时,P=11/99=0.1111……, 等等。

如此这般下去,该如何取“平均”?总体数目为无穷大;各个P值在求均值时的“权重”该赋于多少?我是只感到“不可思议”了。如果事先给定某个确定值N,然后问1~N中什么什么的概率(实为“含量”)为多少,则这样的问题又毫无意思了。总之,邱兄的问题很奥妙!

[此贴子已经被作者于2006-3-22 15:36:11编辑过]

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发表于 2006-3-22 10:06:46 |显示全部楼层

我再想想,总体数目为无穷大,其中某一特征成员的数目,尽管也是无穷大,但后者比之前者,应属“小巫见大巫”,好像叫“次级无穷大”什么的?不论其概率是不是确切的定数,都不能用常规的取平均值的方法来求的吧?我5楼最后一段话好像还未“脱俗”。

此外,我还把概率理解为某一事物可能性大小的预报。这样,有关的总体和局部,他们的数目是否无穷大,好像不是妨碍分析的因素(?)1楼邱兄给的问题“首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是多少?”是否可以理解为:如果随机地取一个自然数,它的首位数字为1的概率是多少?(当然取的次数要足够大量,才能体现预报的概率值,这是另一回事。)有点摇奖的味道。尽管没限定所取数的位数,就是说也是随机的,但实际做起来,例如用随机数发生器,位数总是有限的,这就不大对了。所以,此题还得分析解决。

[此贴子已经被作者于2006-3-22 15:34:25编辑过]

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发表于 2006-3-22 11:41:03 |显示全部楼层

个位数是1/9

十位数也是1/9

百位数还是1/9

。。。。。。。。。。。

总结:首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是1/9

[em01]

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发表于 2006-3-22 15:31:51 |显示全部楼层
烟兄说的一位数、二位数、三位数……都是1/9,所以首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是1/9。这应该就是drink兄说的整体看吧。不过,我6楼改题后说的“如果随机地取一个自然数,它的首位数字为1的概率是多少?”看来还是不等于1/9,因为这些首位数字为1的自然数不是均匀分布的,“摇奖”之前该如何“预报”呢?除非设想把所有的自然数打乱、混匀,再随机抽取一个。问题是它们有无穷多个呀,怎么打乱法?总之,好像“1/9”这个值不像什么“概率”,只不过是“总含量”之类的概念。我说不清楚。

[此贴子已经被作者于2006-3-22 15:43:59编辑过]

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发表于 2006-3-22 18:15:07 |显示全部楼层

现在来揭底了,下面就是该问题出现的历史缘由。

天文学家在进行天文计算时,经常要使用对效表。本世纪韧,有一次天文学家西蒙·纽科姆在查对数表时,偶然发现了这样的现象:对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时,较多地是使用了以1为首的那几页。于是,纽科姆便产生这样一个疑问:首位数是1的自然数在全体自然数中占有多大的比例?它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多?人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。

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发表于 2006-3-22 18:16:54 |显示全部楼层

下面就是该问题的分析过程及研究结果。

大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除0以外,共有九个数字:1,2,3,4,5,6,7,8,9,用其中任何一个数字开头的自然数,在全体自然数中的分布是均匀的,机会应该是均等的。这就是说,首位数为1的自然数应该占全体自然数的1/9。可是,事实并不这么简单。1974年,现在是美国斯坦福大学统计学家的珀西·迪亚科尼斯(当时还在哈佛大学做研究生),研究了这个问题,所得到的结论出乎人们的意料:首位数是1的自然数约占全体自然数的1/3。准确一点说,这个数值应该是lg2约为0.30103。这是怎么一回事呢?

  事实上,用不同数字做首位数字,这样的自然数的分布并不是很均匀的,也不是很规则的。首位数是1的自然数的分布规律是;

  I到9之间,这样的数只有1个,它就是1,所以占1/9;

  I到20之间,这样的数有11个,它们是1,10,11……,19,所以约占1/2,

  1到30之间,这样的数同样有11个,约占1/3,

  1到100之间.这样的数仍然只有]1个,约占1/9,

  l到200之间,这样的数有111个,它们是1,10,11,…,19,100,101,…,199,约占1/2。

  注意到首位数是1的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值,总是在1/2与1/9之间来回振荡。于是,迪亚科尼斯经过研究,终于运用高等数学的方法,得出这些比值的合理平均值,它就是上面所讲到的lg2。.

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