首位数为1的自然数的概率。

邱志红

该问题的实际意义呢？

迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来，美国西雅田波音航天局数学家梅尔达德·沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时，用上了这个结论。近年来，美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器，使飞行员在不离开地面的情况下接受训练，而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。

[此贴子已经被作者于2006-3-22 18:21:08编辑过]

乌木

想不到答案是lg2，近似等于1/3吧，比一般认为的1/9多了约2/9吧。那么它“侵占”了谁的概率值？还是2xxx……，3xxx……，4xxx……，  ……，  9xxx……这“8大家族”平均贡献给1xxx……的？还是它们多少不等地贡献的？（即邱兄说的“9大家族”的概率各自不同？）凭什么呢？

[此贴子已经被作者于2006-3-22 22:52:20编辑过]

乌木

一位数：1～9 ，1首、2首、3首……9首各为1/9；
二位数：10～99，1首、2首、3首……9首各为1/9；
三位数：100～999，1首、2首、3首……9首各为1/9；
………………………………
N位数：1000……～9999……，1首、2首、3首……9首各为1/9 。

整体看时，好像看不出1首、2首、3首……9首有概率依次减小之事嘛，愿闻其详。

此外，当N趋向无穷大时，各“段”的规律看来仍然是“1首、2首、3首……9首各为1/9 ”，可以这样讲吗？

[此贴子已经被作者于2006-3-24 11:41:47编辑过]

drink

令g(x)表示小于等于x的自然数中首位为1的个数,

又令f(x)=g(x)/x

则所求概率应为: lim f(x) ,其中x趋向无穷大

这个极限怎么算呢?

这个极限好像不存在

[此贴子已经被作者于2006-3-24 13:04:15编辑过]

whitetiger

我保留自己的意见。

之前看到过一个问题，最后记得也是用对数的。但一时忘了问题是什么了。

当初记得是直接平均不对，仔细考虑后才发觉用对数的。

[此贴子已经被作者于2006-3-28 14:15:31编辑过]

乌木

我问了一下ZYu，他简单说了一点，无暇细想，说还是等着看或许会贴出证明吧。他说，自然数集合中首位数为1的自然数是子集。子集是合集的“部分”，这两个都是无穷大，在无穷大的世界里，它们是一样大的，即可以是部分等于全部。缘于首位数是1的自然数集合与整个自然数集合是一样大的无穷大，比率（成分）是1/9的说法确是有问题的。

yzsjw0

原作者：[美]　T.帕帕斯

--作者：zwh2010 --发布时间：2003-6-26 5:54:00 -- 首位数问题 人们对生活中的许多现象由于习以为常而不求甚解。可是，如果仔细研究，这里面可能蕴含着深奥的道理。 　　天文学家在进行天文计算时，经常要使用对效表。本世纪韧，有一次天文学家西蒙·纽科姆在查对数表时，偶然发现了这样的现象：对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时，较多地是使用了以１为首的那几页。于是，纽科姆便产生这样一个疑问：首位数是１的自然数在全体自然数中占有多大的比例？它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多？人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。 　　大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除０以外，共有九个数字：１，２，３，４，５，６，７，８，９，用其中任何一个数字开头的自然数，在全体自然数中的分布是均匀的，机会应该是均等的。这就是说，首位数为１的自然数应该占全体自然数的１／９。可是，事实并不这么简单。１９７４年，现在是美国斯坦福大学统计学家的珀西·迪亚科尼斯（当时还在哈佛大学做研究生），研究了这个问题，所得到的结论出乎人们的意料：首位数是１的自然数约占全体自然数的１／３。准确一点说，这个数值应该是ｌｇ２约为０．３０１０３。这是怎么一回事呢？ 　　事实上，用不同数字做首位数字，这样的自然数的分布并不是很均匀的，也不是很规则的。首位数是１的自然数的分布规律是； 　　Ｉ到９之间，这样的数只有１个，它就是１，所以占１／９； 　　Ｉ到２０之间，这样的数有１１个，它们是１，１０，１１……，１９，所以约占１／２， 　　１到３０之间，这样的数同样有１１个，约占１／３， 　　１到１００之间．这样的数仍然只有］１个，约占１／９， 　　ｌ到２００之间，这样的数有１１１个，它们是１，１０，１１，…，１９，１００，１０１，…，１９９，约占１／２。 　　注意到首位数是１的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在１／２与１／９之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的ｌｇ２。． 　　迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来，美国西雅田波音航天局数学家梅尔达德·沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时，用上了这个结论。近年来，美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器，使飞行员在不离开地面的情况下接受训练，而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。 选自《生活中的数学》

[此贴子已经被作者于2006-3-28 19:35:34编辑过]

乌木

世界真奇妙！

whitetiger

“合理平均值”，可能是E{f(x)/x}，其中f(x)表示小于等于x的自然数中首位为1的个数。

乌木

ZYu先生再想想，对我说：（我作过修改）

对所说概率算平均值是什么意思？是否如下：

自然数有无穷多，要想知道首位是1的自然数在所有自然数中的比率（成分）占多少，我们先要从自然数中取出一定量的数，算出其中的比率。取多少数、怎样取，应是随机的。应该对每一种取法求出一个比率，再对各种取法的比率求平均。

这个平均比率就是对数量不确定的自然数中取得首位是1的数的概率。（不知这样说法对不对。）

这样随机的取数太庞杂了，作一个简化：将顺序递增排列的自然数，从1开始逐个取数，对每一组数求首位1所占比率，再求各种比率的平均值。（这样的简化是否有违“随机取数”？）具体来说，下面是头20个数和头10000个数的情况。图中lg2水平线是否就是波动到后面时的平均值？不知如何证明。

[此贴子已经被作者于2006-3-31 0:58:04编辑过]