首位数为1的自然数的概率。

乌木

ZYu老弟说：

只算到1万，就看出点趋势。昨天看到首1的概率平均是在0.3附近震荡，今天再看看首9的概率，结果平均是在0.045附近震荡，比首位1的0.3小很多。不知道用“高等数学”方法算出来的是多少。

有空还可把首2到首8的都算一算。

这种不同于想当然（“各为1/9”）的结果，是不是有什么深层的原因？

ggglgq

请大家参考：在 N 进制中，首位数为 m 的自然数的概率。

好帖子，加精了！

353745264

对于乌木在21楼所提的问题，谁能够解释下呢？？？？？

geslon

问题这样谈是不准确的。“在所有的自然数里面”是一个有争议的定义。

比如，在所有的6位数里面，1开头的概率就是1/9。

在所有的100位数里面，1开头的概率也是1/9。

但是，从1开始连续到n，1开头的概率就是一个不收敛的级数。它的极限不存在，是不确定的。

当然，计算它的大致规律，大约在log2，还是有一定而参考价值，也是非常有趣的。

笨小龙

数字1始终占据约三分之一的出现频率外，数字2的出现频率为17.6%，3出现的频率为12.5%，依次递减，9的出现频率是4.6%。在数学术语中，这一对数定律的公式为F(d) = log[1 + (1/d)]，此公式中F代表频率，D代表待求证数字。

龚永明魔方

首位数是１的自然数的分布规律是；
　　1到９之间，这样的数只有1个，它就是１，所以占１／９；
　　1到２０之间，这样的数有11个，它们是１，１０，１１……，１９，所以约占１／２，
　　１到３０之间，这样的数同样有11个，约占１／３，
　　１到１００之间．这样的数仍然只有11个，约占１／９，
　　ｌ到２００之间，这样的数有111个，它们是１，１０，１１，…，１９，１００，１０１，…，１９９，约占１／２。
　　注意到首位数是１的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在１／２与１／９之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的ｌｇ２。．

这样分析是对的。


[ 本帖最后由 龚永明魔方 于 2010-4-20 13:49 编辑 ]

oboe

扩展下，如果是2进制呢？
0 - 1 占1/2
00-01-10 占1/3
00、01、10、11 又占1/2
000、001、010、011、100 占1/5
....

难道也是ln 2吗？

superacid

LS请注意：二进制数第一位必然为1

znf2

是个好命题，这不单单是数学问题，在其他领域里肯定有用。

rubik-fan

原帖由 superacid 于 2010-4-21 15:14 发表
LS请注意：二进制数第一位必然为1

只能说你遇到更有才的人了。