关于魔方最少步数的问题

骰迷

其實奇偶性證明了以後，LS的問題也不存在了。假設X狀態N為10，Y狀態N為13（雖然是沒可能），那麼可以將Y狀態的解法改為X+1。所以呢，X和Y的步數就是算兩個其中較小的一個，令一個就是X+1、Y+1了。
就是把題目簡化為：X狀態的還原步數不能同時為單數和雙數。
再簡化一點：從X0開始，以雙數步M打亂，不能以單數步N還原。反之亦然。

[ 本帖最后由 骰迷 于 2009-2-13 21:32 编辑 ]

lulijie

证明X和Y相差大于1步是不可能的，比较容易，但证明X和Y步数不可能相等，如何证明呢？

lulijie

11楼已经想到了题目的实质上

乌木

楼主说：“任何一种正6面体魔方，旋转180度算两步，6个中心点不能旋转，也就是说每次只有12种转法。
用X表示魔方的一种状态，目标状态为X0。
假设从X复原成X0的最少步数为N步，Y是X旋转一步所成的状态，
那么Y复原成X0的最少步数不是N-1步，就是N+1步。”

先问问，“任何一种正6面体魔方”，指2×2×2，3×3×3，4×4×4，……等魔方，对吗？不包括外形为立方体的异型魔方，对吗？

“6个中心点不能旋转”，这不符合实际嘛？！你是指中心块旋转不旋转显示不出，对吗？

从态树的概念想想，X0态当作树根（0步态）的话，X就是N步态这一代之一；只要X不是最远态，它走一步的话，要么下树到达（N－1）步态（即回到它的父体），要么上升到11个（N＋1）步态之一。如果X已经是最远态了，它走一步都是下树，到达12个（N－1）步态之一。这里还未考虑所得到的Y是否和哪个第几代的态属于同态，一下子合并过去，不再是（N＋1）态或不再是（N－1）态了。此事想不下去啦，还是听你们的吧。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-13 22:20 编辑 ]

kexin_xiao

很深奥,坐地上研究和各位学习

骰迷

烏木老師的觀點很有趣。但想想，要是＂一下子合并过去＂了，那麼難道X不會一下子合拼過去麼？如果合拼了過去，那麼本來的N值就不是最少步數了，對嗎？
還可以把題目再縮一縮：擰單數步不能還原魔方。

[ 本帖最后由 骰迷 于 2009-2-13 23:16 编辑 ]

lulijie

因为中心块若允许旋转的话，它旋转90度算一步，其实同两边各旋转90度得到的结果相同（算2步），就造成了总步数奇偶的差异。所以不允许中心块旋转。

骰迷

樓主可以把這個貼進置頂帖裡面。
題外話：這版沒有趣題做的時候，日子還過得挺悶的。魔方吧是我的精神食糧。見到這帖子真高興。可是題目有點誤導啊。

lulijie

对于规定什么是一步很重要，转180度，形成的状态其实就是2个90度旋转形成的，所以180度不能算一步，否则，旋转步数的奇偶性就不确定了。同样中心块旋转到底算几步呢，会造成混乱，索性就规定不允许。所以规定每步允许的旋转只有12种。
题目的意思跟11楼的意思其实殊途同归。
关键是如何给予完善的证明。

乌木

你说的是中层转，中层一转相当于两边的层各一转，算两步。
单个中心块的旋转是与它四周的块，即（比如三阶的）一层9个块同时发生的。比如做一下U，顶层转90度的同时，顶心也就地自转了90度，但在纯色魔方中，奇阶的中心块的自转显示不出，一般也就不去考查它了。