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楼主: Osullivan

切西瓜 [复制链接]

红魔

All Blue

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发表于 2009-6-8 17:45:02 |显示全部楼层
原帖由 Osullivan 于 2009-6-7 20:57 发表


其实你理解错啦,一刀切了一条线段后,线段是连在一起的,可以数出三条线段来,两条短的,一整条。不是一刀变成三小段,这样明白了吧?



啊?是這樣啊?那麼將正方形十字切開成田字狀,不就有十三塊?哪有這樣數的ㄚ
公式D F2 U L2 U B2 U R2 U R' F2 R L U L' R' U R L' U L U L U2 L' U' L U2 L'
数列11121131221231321332223233311

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透魔

米糕咪够咯。。。。。。

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发表于 2009-6-11 11:56:25 |显示全部楼层
这个问题的合理模型是:
N个平面最多可以将空间分成几份。

现有的理论成果为:
n个点最多把直线分成C(n,0)+C(n,1)份;
n条直线最多把平面分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)份;
n个平面最多把空间分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)=(n³+5n+6)/6份;
n个空间最多把“时空”分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)份;
……
C(a,b)表示从a个元素中取b个的组合数。

以第二个为例加以解释,其余类似。
没有直线的时候平面只有1份,即C(n,0);n条平行直线会使平面增加n份,这是每条直线的直接作用,即C(n,1);让平行线旋转相交,每相交1处平面就增加1份,n条直线两两相交最多相交C(n,2)处。
综上,n条直线最多把平面分成的数量为
基准平面+直线数+两两相交数

类似地,n个平面最多把空间分成的数量为
基准空间+平面数+两两相交数+三三相交数

依此类推

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透魔

米糕咪够咯。。。。。。

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发表于 2009-6-11 12:14:24 |显示全部楼层
理论要与实际结合起来。

切西瓜,当然要“每一块都带有皮”,这样才好“拿”。
而现在的方案基本上是打成西瓜汁了。
前三刀还有皮。
第四刀的中间那块就没有皮了,全是“瓤”。(四刀的切法就是“将一个四面体的各面延伸”,每个面对应的是一刀,四个面就是四刀。)

这个带皮的模型倒是不好建立。
(忽略西瓜皮的厚度,但是不忽略其存在。)

===============================

每块西瓜都带皮的理论模型为:
共点的N个平面最多可以将空间分成几份。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-12 09:29 编辑 ]

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四年元老

发表于 2009-6-15 22:35:58 |显示全部楼层
看你怎么切了?不同切法 就有不一样的答案。

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铜魔

♂鉦版宅娚ミ

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发表于 2009-6-15 22:49:57 |显示全部楼层
无语

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红魔

bobbie仔

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发表于 2010-4-12 01:58:32 |显示全部楼层
每切一刀有一个新的平面,其实就是平面将空间分份的问题


切第n刀后有S(n)块,为使新增的空间分块(块数)尽量多,应该与前面的n-1刀的平面都相交,于是有n-1条交线。

n-1条交线最多可以把第n个平面分成(n^2/2-n/2+1)个平面分块

(这里用到平面板的切西瓜问题,或者可以叫切薄饼吧!就是n刀可以把薄饼切成几块的问题)

每个平面分块对应一个新的空间分块(这一刀新产生的西瓜块),也就是多了(n^2/2-n/2+1)块

综上,有关系式S(n)-S(n-1)=n^2/2-n/2+1

利用这个递推式,且已经知道S(1)=2(一刀最多有两块),得到

S(n)=n^3/6+5n/6+1

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红魔

bobbie仔

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发表于 2010-4-12 02:02:59 |显示全部楼层
33楼 提到没有瓜皮,现在来算切最多块的情况下,有多少块是没有皮的,这里假设皮无限薄
切第n刀后有用T(n)表示这时有多少块不带皮的西瓜块。

在前面求S(n)的切瓜方法下,先求新增的不带皮西瓜皮数目:发挥想像力,前n-1刀的切面与这第n刀的切面相交,把这个切面分成了(n^2/2-n/2+1)个平面分块(就像求S(n)时所说的),
在这些分块中,每一个只由切面的交线围成的分块就对应了一个新的不带皮西瓜块,前n-1个切面在新n刀切面上分出的这样的分块有{(n-2)(n-3)/2}个,即新增的无皮西瓜块就有这么多块。
(这里又用到平面板的切西瓜问题,n刀把一块大圆薄饼切成最多块,其中有的分块是完全在薄饼内部的,与大圆薄饼的圆边不相交,可以求出有(n-1)(n-2)/2个这样的分块)

综上得到关系式T(n)-T(n-1)=(n-2)(n-3)/2

利用这个递推式,并且已经知道T(4)=1(四刀最多有一块无皮西瓜块),得到

T(n)=(n-1)(n-2)(n-3)/6

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红魔

bobbie仔

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发表于 2010-4-12 08:32:33 |显示全部楼层
32楼很有启发呵呵~~

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论坛建设奖 四年元老

发表于 2010-4-12 20:07:58 |显示全部楼层

回复 9# 的帖子

我记得4刀是15块啊

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发表于 2015-5-24 13:42:40 |显示全部楼层
我记得和海峡两岸数学总决赛很相似啊!5条直线可以吧一个平面分成多少块。一共是16块O

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