切西瓜

骰迷

原帖由 Osullivan 于 2009-6-7 20:57 发表


其实你理解错啦，一刀切了一条线段后，线段是连在一起的，可以数出三条线段来，两条短的，一整条。不是一刀变成三小段，这样明白了吧？

啊？是這樣啊？那麼將正方形十字切開成田字狀，不就有十三塊？哪有這樣數的ㄚ

migl

这个问题的合理模型是：
N个平面最多可以将空间分成几份。

现有的理论成果为：
n个点最多把直线分成C(n,0)+C(n,1)份；
n条直线最多把平面分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)份；
n个平面最多把空间分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)=(n³+5n+6)/6份；
n个空间最多把“时空”分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)份；
……
C(a,b)表示从a个元素中取b个的组合数。

以第二个为例加以解释，其余类似。
没有直线的时候平面只有1份，即C(n,0)；n条平行直线会使平面增加n份，这是每条直线的直接作用，即C(n,1)；让平行线旋转相交，每相交1处平面就增加1份，n条直线两两相交最多相交C(n,2)处。
综上，n条直线最多把平面分成的数量为
基准平面+直线数+两两相交数

类似地，n个平面最多把空间分成的数量为
基准空间+平面数+两两相交数+三三相交数

依此类推

migl

理论要与实际结合起来。

切西瓜，当然要“每一块都带有皮”，这样才好“拿”。
而现在的方案基本上是打成西瓜汁了。
前三刀还有皮。
第四刀的中间那块就没有皮了，全是“瓤”。（四刀的切法就是“将一个四面体的各面延伸”，每个面对应的是一刀，四个面就是四刀。）

这个带皮的模型倒是不好建立。
（忽略西瓜皮的厚度，但是不忽略其存在。）

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每块西瓜都带皮的理论模型为：
共点的N个平面最多可以将空间分成几份。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-12 09:29 编辑 ]

菜鸟要翻身了

看你怎么切了？不同切法 就有不一样的答案。

夜雨听风

无语

榨汁更核算

bennielf2

每切一刀有一个新的平面，其实就是平面将空间分份的问题


切第n刀后有S(n)块，为使新增的空间分块（块数）尽量多，应该与前面的n-1刀的平面都相交，于是有n-1条交线。

n-1条交线最多可以把第n个平面分成（n^2/2-n/2+1）个平面分块

（这里用到平面板的切西瓜问题，或者可以叫切薄饼吧！就是n刀可以把薄饼切成几块的问题）

每个平面分块对应一个新的空间分块（这一刀新产生的西瓜块），也就是多了（n^2/2-n/2+1）块

综上，有关系式S(n)-S(n-1)=n^2/2-n/2+1

利用这个递推式，且已经知道S(1)=2(一刀最多有两块)，得到

S(n)=n^3/6+5n/6+1

bennielf2

33楼 提到没有瓜皮，现在来算切最多块的情况下，有多少块是没有皮的，这里假设皮无限薄
切第n刀后有用T(n)表示这时有多少块不带皮的西瓜块。

在前面求S(n)的切瓜方法下，先求新增的不带皮西瓜皮数目：发挥想像力，前n-1刀的切面与这第n刀的切面相交，把这个切面分成了（n^2/2-n/2+1）个平面分块（就像求S(n)时所说的），
在这些分块中，每一个只由切面的交线围成的分块就对应了一个新的不带皮西瓜块，前n-1个切面在新n刀切面上分出的这样的分块有{(n-2)(n-3)/2}个，即新增的无皮西瓜块就有这么多块。
（这里又用到平面板的切西瓜问题，n刀把一块大圆薄饼切成最多块，其中有的分块是完全在薄饼内部的，与大圆薄饼的圆边不相交，可以求出有(n-1)(n-2)/2个这样的分块）

综上得到关系式T(n)-T(n-1)=(n-2)(n-3)/2

利用这个递推式，并且已经知道T(4)=1(四刀最多有一块无皮西瓜块)，得到

T(n)=(n-1)(n-2)(n-3)/6

bennielf2

32楼很有启发呵呵~~

dkjiaoyang

我记得4刀是15块啊

奇迹少年

我记得和海峡两岸数学总决赛很相似啊！5条直线可以吧一个平面分成多少块。一共是16块O