[原创]魔方的算子循环与计算（补充版）

ggglgq

哈哈，我终于等到“知己”了! 可以看得出，“魔高一丈”是一个对魔方群理论的有心人......我对你有 似曾相识的感觉......真是相见恨晚呀......对于你的到来，我表示热烈欢迎！ 对于你的“算子循环”，我有如下见解，请看下文......

以下是引用还猪哥哥在2004-12-16 10:36:43的发言：

其实“双龙出海”还有更短的公式

L' R U R' U' L U R U' R' 可以优化为 L' B' R' B L B' R B

实际上 (L' R U R' U' L U R U' R')+(L' R U R' U' L U R U' R')=L' R U R' U' L U R U' L' U R' U' L U R U' R' 再加一个，还可以优化......

以下是引用ggglgq在2004-6-24 8:08:40的发言：

十二、“广义循环变换”的定义及应用

1.“广义循环变换”严格的定义： 对于最少步变换 A ，如果存在一个与 A 不同的变换 B ，使得 A(-B) = 1 ， 设 C 为 A (-B) ， [ 其中：-B 表示 B 的逐元逆变换，如 B = a b c ，则 -B = (-c) (-b) (-a) ] 且 any(circle0(C),half(C)) 中存在一个是最少步 变换，则称变换 C 为广义循环变换。记作： 广义循环变换 C 或 Gcircle(C)

显然，若 length(B) <= length(A) + 1，条件[ 且 any(circle0(C),half(C)) 中存在一个是最少步变换 ] 多余。

2.“广义循环变换”的一般理解性定义： 除了 1.“广义循环变换”严格的定义外，在不严格的情况下，有时泛称： 对于有效变换 A ，如果 A = 1 ，则称变换 A 为广义循环变换。记作： 广义循环变换 A 或 Gcircle(A)

请参考我的： [原创]魔方循环变换理论概述（待完善）

即：你的理论应该是一个“更广义的循环变换”！！！准确地讲应该是： “算子循环的循环变换”！！！ 由上可知这种“算子循环的循环变换”的特点（缺点）就是算子循环能被 不断优化......直至优化到“广义的循环变换”！ 呵呵“魔高一丈”值得鼓励。请你有空能到我的“魔方循环变换理论概述” 主题帖子中发表看法和高见，希望我们今后多交流，多为魔方吧以及魔方事业 添砖加瓦！

cube_master

魔高一丈

哈哈哈哈 老师说的太好了我也有同感。刚才粗略读了一下你的大作... 咱们有异曲同工之处，好!真是狗熊所见略同啊 。虽然时间有限未能细细体会您的整个理论（在下最近工作很忙..但已经把它拷了下来，有空就拜读..）,只是看了一点都觉得的确很精妙. 令在下矛塞顿开啊。你的“循环”浓缩着我的“循环”..哈哈

若循环A=a+b+c...，a=b=c...,我是a求A和strlen(A)，一个有待优化的A...

您的“循环”有浓缩性、方向性、任意性、逆等效性！厉害啊！！ 根据方向性、任意性、逆等效性推出：如果A=a+b+c+d+e ,即为一个循环，那么a+b+c+d=-e,c+d+e=-b-a。同样："双龙出海"的循环数为3，"独劈华山"为"双"的反招，所以一招"双龙出海"=两招"独劈华山"、一招"独劈华山"=两招"双龙出海"。"双龙出海"+"独劈华山"=3N*"双龙出海"=3N*"独劈华山"...我在这个循环里以"双"为单位..在兜圈圈呢 嘻嘻

如能当面请教老师您就好了，如果你我的循环能统一...岂不更妙..你是中国我是台湾啊　嘻嘻 我的理论也要快作完善.。

[此贴子已经被作者于2004-12-19 9:31:38编辑过]

xinru

以下是引用ggglgq在2004-12-17 18:10:35的发言：

呵呵，cube_master 的 10、11、12 楼几个角公式在五阶魔方中全是严格的“循环变换”！！！ 说明 cube_master 运用“循环变换”厉害呀！ 下面仅举 cube_master 的 11、12 楼两例说明（以方便读者阅读浏览）：

真是奇特有趣，这到底是怎么一回事呢？欢迎广大魔方爱好者讨论解答！

真是奇特有趣，这到底是怎么一回事呢？欢迎广大魔方爱好者讨论解答！ 我想可能cube_master的 10、11、12 楼几个角公式在上面的五阶魔方中间用就不是角公式，呵呵，ggglgq在{偷换概念}了吧？！[em16][em17]

上面cube_master所有几个角公式在五阶魔方中间用我都试了，都具备循环特点，是否全是“循环变换”就不知道了。我想所有在三阶魔方中的“循环变换”，在你上面的五阶魔方中间用都应该是“循环变换”的，你说对吗？[em31]

[此贴子已经被cube_master于2005-4-15 23:59:46编辑过]

cube_master

呵呵，我从来没想过这几个公式应用在五阶魔方上会有这种奇特现象，还是 ggglgq 老师思路广阔[em17]

佩服[em02]

[此贴子已经被作者于2004-12-20 11:50:43编辑过]

ggglgq

xinru 先生的眼睛忒毒、酷毙、厉害！ 很高兴看到这么多魔友参与到“循环变换”的研究中来！令我欣喜的是居然有人 （大烟头等）进一步把“偷换概念”法用到《公式“双龙抢珠”在五阶魔方上的应用》 中了，这是让我感到无比幸福的；同时 xinru 先生还提出了一个令我感兴趣的问题， 即：“循环变换”的移植问题！ 很好，欢迎大家踊跃探讨这一问题！把“循环变换”理论完善推广，使之更好地 拓广于魔方中去，比如 大烟头 这次发表的公式等，然后再进一步提出新设想，比如 xinru 提出的“循环变换”的移植问题等。 这样就使“循环变换”理论不断应用于 魔方的实践，而魔方的实践又不断完善“循环变换”理论，使它们形成良性互相促进 的关系！ 实际上，“循环变换”的应用我早在《我来玩玩正六面体三阶魔方---循环公式》 中就以公式的形式给出，那时想通过这种方式激发大家的兴趣，没想到效果不太理想， 想不到这次通过 xinru 先生的一句“偷换概念”，又把大家的兴趣调动起来了，还是 xinru 先生“酷毙”、“厉害” ！！！

对于 xinru 先生提出的“循环变换”的移植问题，我曾经考虑过一段时间，答案 似乎没有 xinru 先生想得那么简单！我想这一问题还是留给大家去做进一步思考更好， 希望出现更多的诸如 “大烟头 公式”、“xinru 问题” 等等，大家看呢？ 年底的 事情比较多，等忙完年终的事情，我再和大家讨论“循环变换”的移植问题的反例吧！

最后希望国际（人际）社会同时借此良机能帮助“ggglgq”和“魔高一丈”早日 实现“中国”和“台湾”的统一！ 同时祝大家　圣诞＋元旦＋循环变换 ＝ 快乐 ！

xinru

55555555“xinru 问题”的反例看样子在元旦前是解决不了了55555555我的脑袋都要想炸了[em06]

大烟头

以下是引用ggglgq在2004-12-17 18:10:35的发言：

呵呵，cube_master 的 10、11、12 楼几个角公式在五阶魔方中全是严格的“循环变换”！！！ 说明 cube_master 运用“循环变换”厉害呀！ 下面仅举 cube_master 的 11、12 楼两例说明（以方便读者阅读浏览）：

真是奇特有趣，这到底是怎么一回事呢？欢迎广大魔方爱好者讨论解答！

这个五阶魔方的奇特有趣的现象可用空穴法来解释： 这两个五阶魔方公式是典型的A空穴法ABA'B'公式，其中A=MBB'MRR'MBB，B=MLL'。由于MLL'群上没有空穴所以不能产生变化，成了循环公式了。当B=L或B=R时就成了五阶魔方三心置换公式了：

[此贴子已经被cube_master于2005-4-16 0:08:04编辑过]

ggglgq

“魔高一丈”不知近况如何？今把 你 的“原创” 与 pengw 朋友的“评论” 贴于此处备大家“对比参考”！

以下是引用魔高一丈在2004-12-14 22:15:13的发言：

（以下是本人多年前发现的魔方的算子循环理论，现在凭回忆复述如有错漏请大家指教－－湛江混世魔王）

任何算法都会循环，理由很简单，任何一个算法只能按规律移动变换某些方块，就算这些方块在涉及的层上按一定的规律地尽可能的交错组合，构成不同的图案，但是它的块、面、层是有限的，也就是说只要坚持按照一定的规律变换，就会造成循环现象。例如"双龙出海"（L'RUR'U'LURU'R'/未优化）、"独劈华山"（双的反招）的循环数为3、再任意例举一个RU的循环为105，大家可以自己验证一下。 1、算子循环的构成：众所周知方块中分菱块和角块，不同的方块它的位置和轨道是不同的，菱块只能在菱位移动,角块只能角位移动，在任一位置上菱块分两种状态，角块分三种状态。算子循环数跟每步算子的效果中移动的菱块和角块的轨道有关、算子涉及的层数、层是否相交有关。类轨迹位与类状态组合形成类循环，各类（菱或角）循环组合形成算子循环。 2、算子循环的计算：先计算出各类轨迹位数、状态数，然后根据排列组合原理可算出该算子的循环数来。状态数为类参考方块第几次回原位与原状态一致。类轨迹位数也就是某类方块顺着轨迹循环一次的步数。这个很容易点算。算子循环公式：菱块轨迹位数*菱块状态数（1-2）*角块轨迹位数*角块状态数（1-3）=算子循环数 3、条件： 1、计算每类（菱或角）只需计算其中一个移位的方块的轨迹位数。选择点算类轨迹位数的参考方块,不能选择原路退回的特殊方块（如算子RUF和RU中的"上前右"角块）。 2、每层的同类轨迹位数相加，注意：某类轨迹位在两层相叠，只能算1不能分别算入两层。当算子里相邻步的层若是平行（如：LR）则取较长的轨迹位数（另一层不是相等就是它的一半，不作计算），两类轨迹位数相等并只取其中一类的数，另类在这里作1。 3、当某类菱块轨迹位数或状态数不存在那么它对应的该数为1而不能为0。 4、例子剖析： 1）、算子RU，它的菱块轨迹位数为7,菱块状态数为1,角块轨迹位数为5,角块状态数为3,代入公式得7*5*3=105。菱类轨迹位数的点算：笔者将”上前” 菱块作为菱类参考块，先后经过”上前”-”上左”-”上后”-”上右”-”后右”-”下右”-“前右”回到原位且状态跟原来一致，共7个点故菱类轨迹位数为7，状态数为1。角类轨迹位数的点算：角类方块中以”上前左”作为角类参考块，先后经过”上前左”-“上后左”-“上后右”-“下后右”-“下前右”回到原位且状态比原来的逆时针旋转了1/3，共5个点故角类轨迹位数为5，状态数为3（注意：大家可以任意选用其它位置发生变化的作参考块，但"上前右"的轨迹为原路退回的特殊方块,不能作为参考块）。 2）、算子RUF,同理得出它的菱块轨迹位数为8,菱块状态数为2,角块轨迹位数为5,角块状态数为1,得8*2*5=80。 5、算子循环的特性： 1）、浓缩性：所谓的浓缩就是可以不断优化至最简。 2）、方向性：分正向和逆向,如.：RUF与F’U’R’。 3）、任意性：如果a、b、c、d构成循环，那么abcd=bcda=cdab=dabc。 4）、折叠性：在循环里任意最远的两个点，分正逆两向对应的点成镜像。它的前提条件是最简！！！形象点讲该循环是最圆的，可以想象成圆圈。 5）、逆等效性：如果A=a+b+c+d+e 即为一个循环，那么a+b+c+d=-e,c+d+e=-b-a。同样："双龙出海"的循环数为3，"独劈华山"为"双"的反招，所以一招"双龙出海"=两招"独劈华山"、一招"独劈华山"=两招"双龙出海"。"双龙出海"+"独劈华山"=3N*"双龙出海"=3N*"独劈华山" （我想可以引申为所有事物循环现象的特性）

ggglgq

以下是引用pengw在2005-4-15 13:12:41的发言：

循环变换计算

------------------------------------------- 1 变换定义 对一个步长为N的公式,从特定方位作用于魔方,这个公式在同一方位重复一定次数后,魔方又回到初始的状态,这就是循环变换. 2 变换问题 显而易见,任何一个公式重复一定次数后,魔方状态都可以回到初态,一些公式重复几次后就循环了,一些公式可能重复很大的次数,都没有循环,因此玩家一般关心以下问题: 1. 一个特定公式要重复多少次,受影响的所有块才能回到初态 2. 有没有一个方法能够计算出循环次数,而不用手工去试 答案是肯定,下面将对这个问题进行分析,并给出答案 3 变换分析 3.1 公式影响 为了简化讨论,我们从一个复原的魔方开始讨论,特定步长的公式第一次作用于复原的魔方后,魔方的状态可能有以下变化: 1. 生成了一些环,这些环可能大小(指环包含的块数)不等 2. 一些中心块转了90度,或180度. 3. 一些中棱块在原位改变了色向 4. 一些边角块在原位改变了色向 3.2 状态变化 3.2.1 环 * 对于无向色块组成的环,环的循环周期为环的块数 * 对于中棱块环,如果环内块的色向和为零,则环的循环周期为环的块数,否则为环的块数乖2 * 对于边角块环, 如果环内块的色向和为零,则环的循环周期为环的块数,否则为环的块数乖3 3.2.2 中心块 1. 如果中心块第一次转了90度,则该中心块循环周期为4 2. 如果中心块第一次转了180度,则该中心块循环为2 3.2.3 在原位的边角块 显然在原位受影响的边角块色向循环周期是3 3.2.4 在原位的边棱块 显然在原位受影响的边棱块色向循环周期是2 3.3 循环计算 第一次在复原魔方上使用公式后,完成以下操作: 1. 找出所有的环,确定每个环的周期 2. 找出所有受影响中心块,其对应的循环周期,周期可能是2或4 3. 找出所有在原位受影响的边棱块色向/边角块色向,周期分别是2与3 4. 不论块或环的性质,周期相同的只取一个周期用于计算 5. 周期公倍数=块或环的周期的最小公倍数 6. 公式循环次数=周期公倍数 7. 公式执行步数=公式循环数*公式步长,这里取90度转动为一个基本步长 4 变换举列 4.1 举例一 公式:上面顺转90度,前面顺转90度,步长n=2 上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果: 1. 生成一个含7个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:7 2. 生成一个含5个边角块的环,环的色向和不为零,所以环的周期:为3*5 3. 一个角块色向原位顺转,周期为3 4. 二个中心块顺转动90,周期为4 周期公倍数=7*15*4=420 #显然420能被所有周期整除 公式循环次数=420 公式执行步数=公式步长*420=2*420=840 对纯色魔方,忽略中心块周期: 周期公倍数=7*15=105 公式循环次数=105 公式执行步数=公式步长*105=2*105=210 可以验证上面的计算完全正确 4.2 举例二 公式:前面,右面,后面,左面四个面依序顺转90度,步长n=4 上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果: 1. 五个边角块原地改变色向,周期为3 5. 生成含3个边角块的环,环的色向和不为零,所以环的周期:为3*3 6. 生成含5个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:5 7. 生成含7个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:7 8. 四个中心块顺转动90,周期为4 周期公倍数=9*5*7*4=1260, #显然1260能被所有周期整除 公式循环次数=1260 公式执行步数=公式步长*1260=5040 对纯色魔方,忽略中心块周期: 周期公倍数=7*5*3=315 公式循环次数=315 公式执行步数=公式步长*315=4*315=1260 可以验证上面的计算完全正确 4.3 举例三 公式:上面,下面,左面,右面,前面,后面六个面依序顺转90度,步长n=6 上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果: 1. 四个边棱块原位改变色向,周期为2 2. 生成含2个边角块的环四个,四个环的色向和为零,所以环的周期:2 3. 生成含2个中棱块的环四个,四个环的色向和不为零,所以环的周期为:2*2 9. 六个中心块顺转动90,周期为4 周期公倍数=4, #显然4能被所有周期整除 公式循环次数=4 公式执行步数=4*6=24 显然纯色魔方与全色魔方循环数相同 可以验证上面的计算完全正确 5 引深推论 1. 以上讨论方法完全基于N阶定律 2. 以上讨论的方法适用于N阶魔方所有公式 3. 以上论论的方法,更适用于电脑编程处理,很容易做出算法让电脑瞬间完成 4. 以上计算的结果,显然是相关公式的最短循环次数. 6 作者说明 1. 当前已有循环变换文章描述定义不清, 文章过于雾里看花,过于关心表象 2. 在应用上没有准确阐明用法 3. 问题计论似乎不涉及魔方状态变换这一关键问题,看不出头晕眼花的初等转动体有何暗喻 4. 没有给出公式循环次数计算方法,这正是循环变换在应用中的关键问题

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忍冬

完成于拉萨市

2005年4月15日

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