一个有趣难解的游戏

hubo5563

（0  8 10）， （0  3  5）.，（0 3 4），第2堆、第三堆各抓2个，（0 1 2）
（7 0  10）， （7  0  4），（3 0  4），第一堆、第三堆各抓2个，（1 0 2）

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-18 21:08 编辑 ]

phileas

如果只有两堆，其解是互补数列{[na]}, {[nb]}，其中a=二分之根号五加一，b=二分之根号五加三。

猜想：对于三堆，其解同样是互补数列。

hubo5563

对于三堆还找不到这样的公式。
这就是难点。

  两堆的奇异局势也是三堆的奇异局势，算法是你给出的公式。

（0 0 0），（0 1 2），（1 1 4），（0 3 5），（2 2 6），（1   3  3），（1 5 6），（2 3 8），（2 4 10），（3 4 4），（5 5 7），等都是奇异局势。

一直找不到公式，但可以用计算机编程计算出任意多组这样的奇异局势。

对于奇异局势，除了（0 0 0）是最终状态，其他任何一个奇异局势，经过任何一个合法的抓法必然变为非奇异局势。
任何一个非奇异局势，存在一个合法的正确抓法变为奇异局势。

如果两个对局的人都会，碰到奇异局势的人必输。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-20 16:37 编辑 ]

phileas

对，可以从(0, an, bn)出发，得到递归定义的集合。这个递归如果数学上不能解决，那也是常见的事情。

相思常青

原帖由 hubo5563 于 2010-8-18 19:56 发表
“当三堆数目都不相等时，不能全部抓一堆，否则必输。”这个结论也不对。
例如：
对于（7 8  10），如果你从第二堆中抓4个，（7  4  10），我就抓走第三堆，（7  4   0），你必输。

看来我还是再回去学几年数学吧。。。。。。。。

kattokid

这题其实最后两组所剩的数据必须为n和2n-1，n>2，如（3，5），（4，7），（5，9），（6，11）…如果你取完最后两组这种数据那就赢定了，只是我还没想出该如何才能得到这种结果

hubo5563

不是这样的。（3,5）、（4,7）是奇异局势，而（5,9）、（6,11）不是奇异局势。
对于（5,9），我从第二堆抓6个，就变成（5,3）你必输。
对于（6,11），我从第二堆抓1，就变成（6,10），（6,10）是奇异局势，所以你也必输。
对于两堆，奇异局势如下：
（0,0）、（1,2）、（3,5）、（4,7）、（6,10）、（8,13）、（9,15）、（11,18）、（12,20）........

第n组奇异局势为（an，bn），an=n×[(1+根号5)÷2]取整数部分,bn=n×[(3+根号5)÷2]取整数部分。

例如：第6组奇异局势
按公式计算：an=6×1.618034=9.708204取整为9
                     bn=6×2.618034=15.708204取整为15
                    所以第6组奇异局势为（9,15）。
                    注意，取整不要四舍五入。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-20 15:20 编辑 ]

kattokid

原来奇异局势是这样，小弟孤陋寡闻了，受教了

hubo5563

对于三堆的奇异局势，我也构造了一个奇异局势表。有这个表，会用这个表，就能百战百胜。

对于给定局势，（a，b，c）假定a<=b<=c。
首先查看a列b行那个数假定为d；
如果d=c，那么这就是一个奇异局势，如果对手会玩这个游戏，你必输。否则，你随便从任一堆中取，等待对方出错。
如果d<c，那么从c中取c-d个，变为（a,b,c-(c-d))=(a,b,d)为奇异局势，对方必输。
如果d>c，那么分如下几种情况：
       首先从d往上找，如果发现有c，假定c在b1行，那么从第二堆中取走b-b1个，变为（a，b-(b-b1),c)=(a,b1,c)这是个奇异局势。对方必输。
       如果从d往上找找不到c，再从d往左找，如果发现c在a1列，那么从第一堆中取走a-a1个，变为（a-(a-a1)，b，c)=(a1,b,c)这是个奇异局势。对方必输。
       如果还没找到c，再从d往左上方沿对角线45度方向找，如果发现c在a1列b1行，此时a-a1和b-b1相等，那么从第一堆中取走a-a1个，从第二堆中取走b-b1个变为（a-(a-a1)，b-(b-b1)，c)=(a1,b1,c)这是个奇异局势。对方必输。
       如果还找不到c，变换查找方式，从d上面第一格开始，往上找，每次比较前，将c减去1，直到第一行。如果第i次发现相等了，那么（a，b-i，c-i）为表中的奇异局势。就从第二堆和第三堆各取i个，变为奇异局势，对方必输。
      如果找不到相等的，从d左面前一格开始，往左找，每次比较前，将c减去1，直到第一列。如果第i次发现相等了，那么（a-i，b，c-i）为表中的奇异局势。就从第一堆和第三堆各取i个，变为奇异局势，对方必输。
      如果找不到相等的，从d左上方第一格开始，沿着45度方向往左上找，每次比较前，将c减去1，直到第一列或第一行。如果第i次发现相等了，那么（a-i，b-，c-i）为表中的奇异局势。就从第一堆和第二堆以及第三堆各取i个，变为奇异局势，对方必输。
      奇异局势表的构造方法保证通过以上办法能够找到正确取法。

     例如：（7,8,10）
                 从7行8列看是24,24比10大。24上方、左方、左上方都没有10,24上方第一个不是10-1，第二个是10-2=8；因此正确抓法是从第一堆和第三堆各抓2个，变为（5,8,8）是奇异局势。
    例如：（4,6,17）
                从4行6列看是15,17比15大，从第三堆取走2个，变为（4,6,15）是奇异局势。
     例如：（4,6,9）
                从4行6列看是15,15比9大，从15往上看，第一个是9，因此从第一堆中取走1，变为（3,6,9）为奇异局势。
     例如：（4,6,10）
                从4行6列看是15,15比10大，从15往左上角查时发现，15左上角第2个是10，所以从第一、第二堆各取2个，变为（2,4,10）为奇异局势。
    例如：（4,6,6）
                从4行6列看是15,15比6大，从15往左上递减检查时发现，第一个查5，第二个查4，第三个查3，正好是3。因此从三堆中各取走3个变为（1,3,3）为奇异局势。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-20 17:16 编辑 ]

yzsjw0

三个经典数学博弈
（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规
定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，
后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果
n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走
k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的
取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十
个，谁能报到100者胜。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同
时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示
两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们
称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，
10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有
如下三条性质：

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak
-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其
他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由
于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了
奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b  - bk个物体，即变为奇异局
势；如果 a = ak ，  b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局
势（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余
的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）
,从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - a
j 即可。

从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜
；反之，则后拿者取胜。

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k  （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk组成的矩形近
似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[
j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1
+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异
局势。

（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的
物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首
先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是
（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一
下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情
形。

计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示
这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结
果：

1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）

对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。

任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b
< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）
b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（
a（+）b）即可。

例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达
到奇异局势（14，21，27）。

例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品
就形成了奇异局势（55，81，102）。

例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，4
5，48）。