圆上作弦的概率问题

钟七珍

　
　　９楼的Cielo朋友点到了本题的关键之处！
　　“在圆内随机地取一条弦”。不同的取弦方法，就引出了不同的解法。问题是哪一种取弦方法更符合“随机地取”这一要求呢？

钟七珍

<P>　　</P>
<P>　　解法四：</P>
<P>　　这是我的解题思路。</P>
<P>　</P>
<P>　　为了最大限度地满足“随机取”、“任意取”这一要求，我把取点范围放到无限平面上。但为了保证作出的直线与圆相割，所以必须至少把其中一个点放在圆平面内，而把另一个点的取点范围放在包括圆内和圆外的整个无限平面上（两点式）；或者先在圆内任取一点，再过此点的任意方向作直线（点斜式）。这两种画线方式是等效的。这样就能作出一条弦。然后再用积分算出这条弦长大于圆内接正三角形边长的概率。　　</P>
<P>　　解法四最大限度地满足了题目要求：“在半径为1的圆内随机地取一条弦”。顺带提一句：前面三种解法都没有考虑到圆外也是取点区域。</P>
<P>　　我作出的结果是：6π分之(3倍根号3加2π)。 6π分之(3倍根号3加2π)的计算结果≈0.60900＞3/5＞1/2。</P>

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2008-4-15 12:36 编辑 ]

whitetiger

个人认为解法一是正解。解法二与解法三对比，就发现弦心距小的弦比弦心距大的弦要“少”，就这个认为是随机的不合理。解法三不合理在什么地方还没想好。

钟七珍

<P>　</P>
<P>　　解法五：这是我想到的又一个解题思路。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>　　在圆内随机任取两个点，把作割线所需的两个点的取点区域都放在圆平面内。这样所作的弦“其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率”肯定又是另一种结果。究竟是多少？我没有计算过。但与解法四相比，取点范围受到了限制，不能最大限度地满足了“随机”、“任意取”这一要求。</P>

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2008-4-15 12:35 编辑 ]

钟七珍

<P>　</P>
<P>　　解法六：</P>
<P>　</P>
<P>　　先在圆周上任取一点，然后过此点作任意方向的直线，直线与圆相割得到一条弦。最后通过对弦长的分析计算，从而得出了“弦长大于圆内接等边三角形的边长的概率为1/3”的结果。</P>
<P>　　这个结果与解法一的结果完全相同！不同的解题思路、不同的作图方法，而计算结果居然一样！不知大家思考过是何原因没有？</P>
<P>　　解法六的错误之处与解法一同出一辙：它把平面作图所需点的选点范围局限在圆周线上，不能最大限度地满足“随机取”、“任意取”的要求。</P>
<P>　&nbsp;　</P>

ggglgq

&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 此问题有待研究，置顶讨论！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;

flwb

<P>虽然本题没有说明如何取弦,但无非只有两种方法:</P>
<P>第一种方法,随机取一点,作过此点的最短弦,弦长大于根下3&nbsp;的概率为25%;</P>
<P>第二种方法,随机取两点作弦,第一点,如果取在r=0.5的圆内,则第二点无论怎样取,该弦都必定大于根下3,第一点如取在r=0.5的圆外,(这种情况占75%)那么满足能够与第一点构成长度小于根下3的弦的第二点的可取面积是1.1973(此数值由金眼睛提供的公式得出,详情请看"与tiawing的概率题有关的问题"一贴),与大圆面积Π的比值约为38%,这样两次取点做弦,弦长小于根下3的概率约为75%*38%=28.5%,弦长大于根下3的概率为71.5%。</P>
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失群孤雁

都是对的 .....不一样的作法发概率就不一样了

ZJY

<P>照我说嘛，应该是六分之一。</P>
<P>因为随便在圆上取一点，并以这一点为其中一个顶点作圆内接等边三角形，则符合要求的弦与这个顶点的对边的交点必须在另外两个顶点之间，也就是说，这条弦绕顶点左右摆动的角度不能超过60度，所以答案应该也许或者是六分之一。</P>
<P>本人才疏学浅，如有错误，请指正。</P>

ZJY

<P>回去仔细想了一想，发觉我错了，应该用这个顶点所对的圆心角来计算，即120度，除以360度，答案是6分之1。</P>
<P>&nbsp;</P>