圆上作弦的概率问题

lulijie

求总事件P中，发生事件A的概率。
为了描绘事件，我们用变量X来表示，假设X的每一种取值的概率是相同的（若X的取值有无数种可能，则X的每一种取值的概率密度是相同的）。
如果我们为了计算方便，通过一种转换，转换成求总事件P‘中，发生事件A’的概率，描述事件的变量为X‘。
这种转换是一对一的。那么为了使转换后计算出的概率等于原先求的概率，就要求这种转换后X’的每一种取值的概率是相同的，或概率密度是相同的，若不相同的话，概率计算会很困难，而把她当成相同概率来计算，就造成了错误。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
所以我们转换计算概率时，一定要确定这种转换可行不可行，有没有引起变量的概率密度变化。

DK24

个人认为解法1：1/3

小无常

任意取点的话 才算的

2 3种解法都对任意性做了改变

取弦的定义扭曲了

whut_cz

必须要先确定一个定点，然后再在圆上随机找另一个点，连接两点所成的弦，另一点的集合将圆周分成两份，两份的长度比为2：1，所以大于的概率为1/3

Paracel_007

这是贝氏奇论，单墫的书里讲过的
这时需要给“概率”一个明确的定义，本质上不同解法题目是不同的

liuzr

3楼解法二的结论是正确的。

Honku

几何概型的概率是不定的
一般的题目都会给出相应的条件
比如
“三角型中,做一角的射线交三角形于对边,长度是几分之几的概率”和“在三角形的一边上任取一点,使得长度是几分之几的概率”
一个要用角度去算,一个则要用长度去算
因为衡量的标准不一样
所以计算所得的结果也不一样
所以楼主的解法都可以,只是出发点不用,所以有不同的结果

appletree444

我定义均匀的大前提：一个面内的点都是密度均匀分布的，即是说无论我们在这个面内任取某一小块，其密度都是一样的；而且任取相同面积不同形状的两块，它们各自所包含的点应该算是一样多的。从这个意义上讲，圆内各点应该是均匀分布的。而且从这个意义上来说一个大圆所包含的点比一个小圆所包含的点多。（虽然无穷多确实是比较不了大小的，但是我的定义是）
对于解法三，其实我觉得从下面这个意义上它符合一对一原则：过一条弦作圆心的垂线，这条弦和与之相交的垂线的垂足（弦的中点）就和这条弦一一对应。即从圆上任意取一点，以这点为垂足就可得到对应的一条弦；反之，任取一条弦，那么也就确定了它过圆心的垂线的垂足。那么用面积的方法算，得到的答案确实是1/4。

再反观解法二，举例说，到圆心距离为0.75的弦有无数个，把这些弦都用它的中点（即垂足）一一对应，其垂足点组成的圆轨迹我们称作大圆A。同样道理我们把到圆心距离为0.25的弦的中点组成的圆轨迹称作小圆B。我们从上述均匀的意义出发，并不能得出A上的点和B上的点一样多的结论（假如作一条大圆A的半径AD过B教于C，然后说这样大圆上的点D就和小圆上的点C一一对应，所以大圆上的点就和小圆上的点数一样多，这样会造成圆心处的点很密集，而离圆心越远则点越疏，这样我觉得是违背上面的密度均匀分布论的）。所以解法二从这个角度来说就站不住脚。

最后反观解法一，如图，在中间的60度角的范围内，由于弦AB和弦AC并不一样长，根据解法二的分析，弦AB与弦AC出现的概率是不等的。所以在上述定义的均匀分布的大前提下，解法一是不可取的。

[ 本帖最后由 appletree444 于 2010-1-27 13:07 编辑 ]

冰儿郎

有没有考虑弦和内接三角形边长相等的情况。
这样比忽略弦和内接三角形边长相等的情况得出的答案还少一种情况。
这个。。。

冰儿郎

但仍旧支持第一种解法·