这个是48同构吗？

yq_118

实事上，大多数公式得到的状态都不具有对称性，因而具有互不相同的48同态。前面举的RU就是一例，随机生成一些打乱公式，会发现大多都有48同态。

pengw

有人说三阶状态数有99%的水份,依据就是同态计算,楼上也承认一个事实,同态的多少因状态而异,那么如何判断或计算三阶所有的同态数?如果做不到这一步,又凭什么去评估基于消同态的搜索算法的效率或优劣?大道理都会唱,但是,问题是由细节确定的.我并不指望G副版主回答这个问题,事实上他回答不了任何根本性问题,其它人愿意试试否?

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-7-18 20:31 编辑 ]

ggglgq

　　
　　
  
     嗯，yq_118 对 48 同态 理解得不错。但 RU 作用在魔方复原态的
  
不同方位，得到的状态还是具有对称性的，比如出现
  

  
   
等 多组 同一状态（非 48 个 互不相同 的 状态）。
　　
　　
　　
　　
　　

ggglgq

　　
　　
  
    非但 RU 作用在魔方复原态的不同方位，得到的状态具有对称性的，
  
RUF 作用在魔方复原态的不同方位，得到的状态也是具有对称性的，如
  
  
   
等 多组 同一状态（非 48 个 互不相同 的 状态）。
  
　　
　　
　　
　　

ggglgq

　　
  
    尽管如此，对于 yq_118 说的魔方 48 自同构的结论：
  
“大多数公式得到的状态都不具有对称性，因而具有 互不相同 的 48 同态。”
  
还是正确的，越是 高阶魔方 对称性越差，越是容易构造 互不相同 的 48  自同构。

希望大家不必对此怀疑，请大家用“复杂”一点儿的公式测试吧。
  
　　
　　 附：正六面体二阶魔方-“48 自同构”图解（N 阶“48 自同构”同理）
  
  



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    注：虽然本贴中运用“公式”构造“ 48 自同构”，但“ 48 自同构”
  
并不依赖于“公式”，魔方的“ 48 自同构”是由 魔方状态 确定 的。
  
    即 每一个 魔方状态 都 唯一 确定 它的一组“ 48 自同构”（状态）。
  
这样，我们就用 这一个 魔方状态 代替 它的所有“ 48 自同构”（状态），
  
从而起到了 压缩 魔方状态数 的作用。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2010-7-19 10:09 编辑 ]

小明的马甲

对于任意状态，都保持最短距离不变的相似变换（严格讲应该是。。广义相似变换）就是同态。。。不过暂时我们只找到了48种这样的变换，当然对于某个特定的状态，有可能两种不同的相似变换得到同样的情形，那就没有48种那么多了。至于为什么大部分状态能够有48个同态？这个证明其实很容易，以为凡是没有48个同态的那些状态数国外很早就有人统计出来了，与总状态数相比几乎可以忽略不计。
至于96种，另外的一半是根据某状态的逆构造的相应的同态，同样保持了最短距离不变，但不是相似变换，在实际应用的时候似乎不像上面那么方便罢了。
（其实现在看来很多看似不同的对于同态的定义，其本质是一样的，就是为了排除那些所谓的“缩水”部分罢了）

[ 本帖最后由 小明的马甲 于 2010-7-19 00:35 编辑 ]

pengw

照G副版主的意思，相同状态也算同态，那么，相同名字的人一定就是同一人，也就合符罗辑！哈哈哈，真不知道这些多个同一状态构成的同态，在处理上是如何区别对待，不同的公式有不同数量的同态，看来，G副版主要花大力气去穷尽所有公式，来编一个同态表，不知有生之年能完成否？

黑白子

我明白了，同一个公式和这个公式的镜像公式在一个复原状态魔方的24个方位上，分别各执行一次得到的48个状态，称为48同构。这48同构中，有时含有重复状态，有时不含重复状态。含重复状态时是48个 ，不含重复状态少于或等于48个。就如同在复数范围内一元n次方程有重根时，也说这个一元n次方程有n个根一样。

黑白子

《魔方与上帝之数 》中说“……换句话说， 仅凭对称性一项， 数学家们就可以把魔方的颜色组合减少两个数量级[注五]。……5、确切地说， 是减少至 1/96， 或 45 亿亿种组合。”这96是11楼说的96种状态吗？

ggglgq

原帖由 黑白子 于 2010-7-20 08:20 发表

《魔方与上帝之数 》中说“……换句话说， 仅凭对称性一项， 数学家们就可以把魔方的颜色组合减少两个数量级[注五]。……5、确切地说， 是减少至 1/96， 或 45 亿亿种组合。”这96是11楼说的96种状态吗？

　　
  
    正是如此。