正多面体的欧拉公式证明(不禁想到魔方)

csgg

正多面体每个顶点相交的面的数量应该是相等的……

帕尼

资料详尽 感恩

耗子哥哥

这个解释很透彻，感谢！

谢老师

灰常好的数学资料，完美解释正多边形魔方！

下一步希望有对不同多边形组合的研究，例如足球！ （平面里面叫做镶嵌）

乌木

顺便介绍一下，有人如下这样证明。

一个凸多面体，顶点数为v，面数为f，棱数为e。
为了确定欧拉定理中的数E=v+f-e，设想一个用橡皮膜包起来的多面体模型，橡皮膜有一个面被剪掉，剩下的面的数目φ是f-1，所以E=v+φ+1-e。
将此剩下的曲面在一个平面上摊开，棱长和和角度都发生了变化，但v，φ和e不变。
        
每一个φ面都可以用对角线分成三角形，每条对角线使e和φ都增加1，即E保持不变。
如果在边界上将只属于一个三角形的一条边去掉，则e和φ都减少1，E仍然不变。
如果一个顶点和一条边不再属于某一个面，就把它们去掉，这样v和e都减少1，而E保持不变。
反复利用这些步骤，最后仅剩下一个三角形，此时v=3，e=3，φ=1，所以
           E=v+φ+1-e=2 。
所以，v+f-e=2 是普遍成立的。

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-7-12 11:27 编辑 ]

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看到足球魔方了



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琴剑书生

虽然时间过去很久了，这个符合规定，算的。他是正8面体

咖啡味的茶

忽然想到欧拉公式在高维情况的推广。我发现一个非常简单可以证明欧拉公式的想法，甚至不需要什么高深的数学知识，也不需要很多情况分类：
要让一个多面体拓扑到一个平面上，我们需要先“取下”一个面，然后平铺到一个平面上（因为封闭的三维图形无法“平铺“）。然后在这个平面上，可以保持棱数，点数和面数不变。也就是我们需要证明，在平面上任何平面图形组合都满足V-E+F=1（因为取下了一个面，所以2被1代替）。
那么，一堆平面图形组合又可以看做是用某些方法分割了这个”多边形“。
首先，每一个多边形都满足V-E+F=1，因为V和E永远相等，F的数目是1。注意到，将线段分成两段需要一个点，将一个平面图形分成两块需要两条线段。假设我们任意分割这个多边形，我们需要用”点“分割线段，所以当E多了1，V也会多1，所以它们的差值不变；我们需要用”线“去分割面，所以当F多了1，E也会多一，所以它们的差值也不变。
所以，我们如何分割这个多边形也好，V，E，F永远满足V-E+F=1。
原命题得证。