已知两个数的和与积，五步分析，难度较大

puzzletwister

原帖由 钟七珍 于 2012-2-26 23:37 发表

　　若是７和22，那么甲被告知的和是29，乙被告知的积是154。和是29，所以甲敢断定乙不知道是哪两个数；乙根据甲的发言，再看手中的积是154，而154可以拆成：7乘22，或2乘77，或14乘11。这三组数的和分别为：29、7 ...

加入和是79，只有分解成2和77,3和76才能保证积小于260，不过这两组积都是不能直接判断出两个数，所以和是79是可以说出第一句话的，89也一样。

nnkken第一步排除的和中少排除了57，因为如果对方的积是4*53还是可以立即判断出两个数的，所以和不能是57，不过似乎对最后结果没有影响

nnkken

原帖由 鐘七珍 於 2012-2-26 23:37 發表

　　若是７和22，那麼甲被告知的和是29，乙被告知的積是154。和是29，所以甲敢斷定乙不知道是哪兩個數；乙根據甲的發言，再看手中的積是154，而154可以拆成：7乘22，或2乘77，或14乘11。這三組數的和分別為：29、7 ...

和是79的話，只有兩種可能性：77+2（積為154）、76+3（積為228），其他可能性均不符合「積小於260」的條件。
所以如果甲手中的和是79的話，他要考慮的是，乙手中的這個積的可能性（154、228）中，是否有任意一個足以讓乙推導出那兩個數。
然而，154=2*77=7*22=11*14
228=3*76=4*57=6*38=12*19
所以，無論乙手中的積是154還是228，乙都不會一開始就知道那兩個數。
所以，如果甲手中的和是79的話，他可以說出「我不知道這兩個數，但我知道乙也不知道這兩個數。」
反過來說，若是7和22，甲手中的和是29而乙手中的積是154的話，由於有和是79的可能性存在，因此乙在第二步不能斷定那兩個數是7和22。

同理，若和是89，則只可能是87+2（積為174）或86+3（積為258）。
174=2*89=3*58=6*29
258=3*86=6*43
甲同樣能斷定乙一開始不知道那兩個數。
因此，若是6和29，由於存在著和是89的可能性，所以乙在第二步不能斷定那兩個數是6和29。

話說這個只是「有點難」的程度嗎……

钟七珍

　　21楼说：“若是7和22，甲手中的和是29而乙手中的積是154的話，由於有和是79的可能性存在，因此乙在第二步不能斷定那兩個數是7和22。”的分析判断是错误的。似乎没有看懂我在17楼的分析解释。
　　当乙手中的积是154时，甲手中的和只能是29，而不可能是79（或25）。若和是79（79可以等于32加49，或26加53，或20加59，或18加61，或12加67，或8加71，或6加73之和！而这几组数的积只有唯一的因数分解），甲第一步是不敢说“我知道乙也不知道这两个数”的！所以，乙根据甲的发言，断定甲手中的和只能是29，而不可能是79（或25）。因此乙在第二步就能斷定那兩個數是7和22。

nnkken

「79可以等於32加49，或26加53，或20加59，或18加61，或12加67，或8加71，或6加73之和！而這幾組數的積只有唯一的因數分解」
然而這些可能性皆不可能出現，因為：
32*49=1,568
26*53=1,378
20*59=1,180
18*61=1,098
12*67=804
8*71=568
6*73=438
全部都不符合「兩數之積小於260」的條件。
由於這些積不可能是乙手中所得的積，因此甲不需考慮「如果乙手中的積是438，那他就會知道是6和73了」之類的可能性。
因此，正如我在21樓所說，「和是79的話，只有兩種可能性：77+2（積為154）、76+3（積為228），其他可能性均不符合『積小於260』的條件。」

[ 本帖最后由 nnkken 于 2012-2-27 13:47 编辑 ]

钟七珍

原帖由 nnkken 于 2012-2-27 12:29 发表
「79可以等於32加49，或26加53，或20加59，或18加61，或12加67，或8加71，或6加73之和！而這幾組數的積只有唯一的因數分解」
然而這些可能性皆不可能出現，因為：…………全部都不符合「兩數之積小於260」的條件。
由於這些積不可能是乙手中所得的積，因此甲不需考慮「如果乙手中的積是438，那他就會知道是6和73了」之類的可能性。

　　这些数的乘积的确超出了“两数炎积小于２６０”这个条件。我把自己设置的条件也疏忽了！
　　但乙为什么在第四步能猜断定这两个数是７和２２呢？

nnkken

原帖由 鐘七珍 於 2012-2-27 13:54 發表

　　這些數的乘積的確超出了「兩數炎積小於２６０」這個條件。我把自己設置的條件也疏忽了！
　　但乙為什麼在第四步能猜斷定這兩個數是７和２２呢？

因為積是154的話，和只能是29和79。
而和是79的話，積則可能是154和228。
但乙在第二步說，「我現在依然不知道那兩個數」。
228=76*3=57*4=38*6=19*12
76+3=79
57+4=61
38+6=44
19+12=31
以上四個和之中，只有當和是79時，甲才能在第一步說出「我知道乙肯定不知道」。
（61=2+59、44=3+41、31=2+29，在這三種情況下，乙均可以馬上知道那兩個數）
因此，如果和是79、積是228的話，乙在第二步就已經可以肯定和是79，進而推斷出那兩個數。
但乙沒有在第二步推斷出那兩個數。因此，甲在第三步就可以馬上知道，積不是228而是154，進而推斷出那兩個數是2和77。
但甲沒有在第三步推斷出那兩個數。因此，乙在第四步就可以馬上知道，和不是79而29，進而推斷出那兩個數是7和22。

yq_118

我写了个程序算了下，确实有三组解

(4, 43), (6, 29), (7, 22)

1. #!/usr/bin/python3
   
2. 
   
3. START = tuple((i, j)
   
4.               for i in range(2, 91)
   
5.               for j in range(i, 91)
   
6.               if i + j > 11 and i * j < 260)
   
7. 
   
8. 
   
9. def mem(f):
   
10.     d = {}
    
11. 
    
12.     def g(*args):
    
13.         if args in d:
    
14.             return d[args]
    
15.         else:
    
16.             d[args] = f(*args)
    
17.             return d[args]
    
18.     return g
    
19. 
    
20. 
    
21. @mem
    
22. def A0(sum):
    
23.     return tuple(filter(lambda p: p[0] + p[1] == sum, START))
    
24. 
    
25. 
    
26. @mem
    
27. def B0(product):
    
28.     return tuple(filter(lambda p: p[0] * p[1] == product, START))
    
29. 
    
30. 
    
31. @mem
    
32. def B1(product):
    
33.     B = []
    
34.     for p in B0(product):
    
35.         if known_A_tB(A0(p[0] + p[1]), B0):
    
36.             B.append(p)
    
37.     return tuple(B)
    
38. 
    
39. 
    
40. @mem
    
41. def A2(sum):
    
42.     A = []
    
43.     for p in A0(sum):
    
44.         if (known_B_tA(B0(p[0] * p[1]), A0)
    
45.             and not known_B(B1(p[0] * p[1]))):
    
46.             A.append(p)
    
47.     return tuple(A)
    
48. 
    
49. 
    
50. @mem
    
51. def B3(product):
    
52.     B = []
    
53.     for p in B1(product):
    
54.         if not known_A(A2(p[0] + p[1])):
    
55.             B.append(p)
    
56.     return tuple(B)
    
57. 
    
58. 
    
59. @mem
    
60. def A4(sum):
    
61.     A = []
    
62.     for p in A2(sum):
    
63.         if known_B(B3(p[0] * p[1])):
    
64.             A.append(p)
    
65.     return tuple(A)
    
66. 
    
67. 
    
68. def known_A(A):
    
69.     return len(A) == 1
    
70. 
    
71. 
    
72. def known_B(B):
    
73.     return len(B) == 1
    
74. 
    
75. 
    
76. def known_A_tB(A, Bn):
    
77.     for p in A:
    
78.         if known_B(Bn(p[0] * p[1])):
    
79.             return False
    
80.     return True
    
81. 
    
82. 
    
83. def known_B_A(B, An):
    
84.     for p in B:
    
85.         if not known_A(An(p[0] + p[1])):
    
86.             return False
    
87.     return True
    
88. 
    
89. 
    
90. def known_B_tA(B, An):
    
91.     for p in B:
    
92.         if known_A(An(p[0] + p[1])):
    
93.             return False
    
94.     return True
    
95. 
    
96. 
    
97. def test(x, y):
    
98.     A = A0(x + y)
    
99.     if known_A(A) or not known_A_tB(A, B0):
    
100.         return False
     
101. 
     
102.     B = B0(x * y)
     
103.     if known_B(B) or not known_B_tA(B, A0):
     
104.         return False
     
105. 
     
106.     B = B1(x * y)
     
107.     if known_B(B):
     
108.         return False
     
109. 
     
110.     if known_B_A(B, A2) or known_B_tA(B, A2):
     
111.         return False
     
112. 
     
113.     A = A2(x + y)
     
114.     if known_A(A):
     
115.         return False
     
116. 
     
117.     B = B3(x * y)
     
118.     if not known_B(B):
     
119.         return False
     
120. 
     
121.     A = A4(x + y)
     
122.     if not known_A(A):
     
123.         return False
     
124. 
     
125.     return True
     
126. 
     
127. 
     
128. if __name__ == '__main__':
     
129.     a = []
     
130.     for p in START:
     
131.         if test(p[0], p[1]):
     
132.             a.append(p)
     
133.     print(a)

复制代码

nnkken

……樓上強大……
我只懂用程序輔助列出某些情況的可能性列表……

钟七珍

　　谢谢27楼的编程分析！谢谢nnkken参与此帖的多次讨论！
　　转了四步分析法的帖子之后，考虑能否扩展为五步分析呢？思考的结果原：题条件不变，只是多一步分析，仍然只有唯一的一组解（已知两个数的和与积，五步分析：
　　有两个在2到99间的整数，告诉甲这两个数的和，告诉乙这两个数的积。由甲乙轮流发言，请甲先说。
　　第一步，甲：我不知道这两个数，但我知道乙也不知道这两个数。
　　第二步，乙:一开始我不知道之两个数，但知道甲也不知道这两个数：现在我仍然不知道是哪两个数。（乙还有一句话：“无法判断甲现在是否知道是哪两个数”没有说出来。）
　　第三步，甲：我仍然不知道是哪两个数。
　　第四步，乙：哈哈！我知道是哪两个数了!
　　第五步，甲：哈哈，我也知道这两个数了！
　　请问：这是哪两个数?）。
　　后来想把难度加大，故设置了两个限制条件：“同时告知甲乙双方：两个数的和大于11、两数的积小于260”。但考虑不周，“两数的积小于260”这个条件反而带来多解（只设前一个条件，不设后一个条件，则此题无解）。
　　好在多解有限，按１７楼算法只有三解，勉强可仍作一题。

yq_118

如果把“两数的积小于260”里的260改成360就只有唯一解(16,19)了