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关于等腰三角形的几何题 [复制链接]

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发表于 2012-5-10 12:20:27 |显示全部楼层

△ABC中,D、E分别在AC、AB上,BD、CE交于P,AD=AE;若 BE+PB=CD+PC,求证AB=AC


此题如何解?




1.jpg

红魔

乐正橙

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两年元老

发表于 2012-5-10 12:34:13 |显示全部楼层
这种类型还真没接触过,可能要用到反证
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红魔

乐正橙

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两年元老

发表于 2012-5-10 12:49:49 |显示全部楼层
假设AB=AC,则∠ABC=∠ACB,BE=CD
∴△EBC全等于△DCB,
∴∠ECB=∠DBC,又∵∠ABC=∠ACB
∴∠EBP=∠DCP,且BE=CD,∠EPB=∠DPC
∴△EPB全等于△DPC,
∴ BE+PB=CD+PC成立
所以AB=AC
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收藏爱好者 魔方破解达人 WCA 代表 亚洲纪录(AsR) 国家(地区)纪录(NR) 十年元老

发表于 2012-5-10 13:20:09 |显示全部楼层
不知楼上所云。。

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发表于 2012-5-10 13:27:27 |显示全部楼层
3#.........
WR 有缘再见~
——2012.4.30

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太原市
发表于 2012-5-10 14:09:51 |显示全部楼层
连接AP
因为EP=DP  AP=AP
所以三角形APE全等于三角形APD
又因为BE+PB=CD+PC  角BEP=角CDP   角BPE=角CPD
所以 三角形BEP全等于三角形CDP
所以AB=AC
额。。。我这个思路有问题。。。在证明第一个三角形时少条件了。。。郁闷不会了。。。。

[ 本帖最后由 qwecs666888 于 2012-5-10 14:13 编辑 ]
玩7阶左手为主。。。。

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发表于 2012-5-10 15:16:17 |显示全部楼层

回复 6# 的帖子

EP=DP 从哪里来?要有这个条件立马就证出来了

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发表于 2012-5-10 15:18:23 |显示全部楼层

回复 3# 的帖子

还有这种证法,晕~
算不算循环论证啊?

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两年元老

发表于 2012-5-10 16:10:15 |显示全部楼层
對於固定的A,B,D,E,先畫出等腰三角形ABC,再在DC上選出一點C1,DC的延長線上選出一點C2。
BD與CE交於P,BD與C1E交於P1,BD與C2E交於P2。
BE+PB=CD+PC
BE+P1B>BE+PB=CD+PC>C1D+P1C1
BE+P2B<BE+PB=CD+PC<C2D+P2C2
因此,對於固定的A,B,D,E,BE+PB=CD+PC僅當ABC為等腰三角形,即AB=AC。

以上只是我的思路,證明中省略了很多部分,也沒考慮特殊情況,但我想思路是可行的。
temp.gif
希望看到新的盲擰方法……

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红魔

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两年元老

发表于 2012-5-10 18:08:09 |显示全部楼层
我同学整理出3种证法,不想写了。。。。
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