解一个抽象函数的解析式。求其他解法。

三硝基甲苯

数学课上卷子里的，f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)。本来不需要解析式的，只是选择题，我想解出来玩玩。
本来想列一个微分方程的，令x=X+dx,y=dx，移项之后左边凑成了了一个两阶导，右边打死凑不出来(高中生，学的不多，勿喷)。就换了一个思路，假设f(x)为一个麦克劳林级数，比较左右多项式次数，得到a(m+n)=a(m)*a(n)*(1+(-1)^m)/2，也就是奇数次项系数均为0，偶数次满足a0=1或0,a(n+2)=a2*a(n)。
算了N小时才发现本来a2就是那个任意常数，就得出了原式的解:f(x)=cos(kx)（K为任意常数）;f(x)=0;f(x)=1.
其中K可以是复数，取i的时候就是cosh(x)（话说这个到底怎么读= =）

我就在想，如果要列微分方程，左边肯定是两阶导无误，但是就是想不出来。求分享思路与解法。



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刚解出来的时候是f(x)=cosh(kx)，不过我最开始猜的是cos(x)。

jimofc

分别令y=0和x=0
得f(0)=1,f(x)=f(-x)

所以是偶函数且f(0)=1，容易想到x^(2n)+1和cos(kx)，代入得解

jimofc

还有一种方法。。。
另x=y代入
f(2x)+1=2f(x)^2
移项f(2x)=2f(x)^2-1，显然是cos倍角公式

三硝基甲苯

jimofc 发表于 2012-6-2 15:22
还有一种方法。。。
另x=y代入
f(2x)+1=2f(x)^2

但是我要找到它全部的解= =

PKUSMSBQ

原题有没有说这个函数的连续性或可微性？
如果不是，那么一切dx的思想都不可行

玉逸风

f（x）=0
一样满足条件，楼主试试。。。。。。。。。。

三硝基甲苯

玉逸风 发表于 2012-6-2 18:05
f（x）=0
一样满足条件，楼主试试。。。。。。。。。。

恩，我写了，一个恒为0，一个恒为1，都可以。

三硝基甲苯

PKUSMSBQ 发表于 2012-6-2 17:33
原题有没有说这个函数的连续性或可微性？
如果不是，那么一切dx的思想都不可行

高中数学= =应该是在定义域内连续可导的吧..不可导函数没考虑过= =没学过

sdblackeyely

高中生怎么就这么厉害蹑？

PKUSMSBQ

三硝基甲苯 发表于 2012-6-3 13:25  高中数学= =应该是在定义域内连续可导的吧..不可导函数没考虑过= =没学过

你可以自己加一个连续可导的条件来挑战自己，但你不能随便乱该题目