四点共圆 [复制链接]

华容道

红魔

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电梯直达

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发表于 2012-6-15 15:32:28 |只看该作者 |倒序浏览

凸四边形ABCD对角线AC，BD相交于O，且AOsinA+COsinC=BOsinB+DOsinD,求证A,B,C,D四点共圆。

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superacid

银魔

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发表于 2012-6-15 21:38:29 |只看该作者

O往四条边作垂线得到EFGH，{AOsinA,BOsinB,COsinC,DOsinD}={EF,FG,GH,HE}(线段长度)
所以EFGH有内切圆
设4个切点为IJKL，可以算出{角IJK,角JKL,角KLI,角LIJ}={180-角ABC,180-角BCD,180-角CDA,180-角DAB}
因为IJKL四点共圆，所以IJKL的对角之和为180度，所以ABCD的对角之和也是180度，故ABCD四点共圆

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