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楼主: 黑白子

状态数是1的N阶魔方有多少种着色方法? [复制链接]

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十四年元老

发表于 2012-7-17 16:27:34 |显示全部楼层
乌木 发表于 2012-7-17 16:25
我对这题目的理解是,无论如何填色(包括不填色),也无论多少颜色,如何使一个N阶魔方打不乱(因而也就无所 ...

正是这个意思

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六年元老

发表于 2012-7-17 16:56:43 |显示全部楼层
补充了这一点之后,楼主的问题变得很有意思。
说一下思路:
1、n阶魔方之所以会出现多种状态,是因为同簇的块具有不同的颜色。
2、要想这个魔方不可能被打乱。就要做到同一簇的块,颜色完全一致。
3、接下来看看n=1、2、3、……时有多少个簇。而且要看楼主给定的m值的大小。

以n=3,m=6为例。即三阶魔方使用六个颜色可以做出多少个有唯一状态的魔方来?
三阶魔方有中心块、棱块、角块、三簇。只要保证中心块颜色全部一样,棱块全部一样,角块全部一样。这个魔方随便转动,不会被打乱。
那么,三簇块分别有六种颜色可以挑选,最后有6的3次方种配色。
推广到普通情况,n阶魔方,m种颜色可选。那么就有W种着色方案,其中:
        1、m的(1/8 *n平方+1/2 *n +3/8)次方    当n=2k-1时(k>=1)
W=
        2、m的(1/8*n平方 +1/4*n)次方         当n=2k时(k>=1)
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六年元老

发表于 2012-7-17 16:57:45 |显示全部楼层
从楼主的文字里不能理解出乌木老师理解的那个意思,是我的一大遗憾。
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发表于 2012-7-17 17:00:15 |显示全部楼层
黑白子 发表于 2012-7-17 16:27
正是这个意思

如果不着色也是一种选择,可以在我给出的答案上,m+1即可。表示:不着色=一种颜色(无色)。
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发表于 2012-7-17 17:22:15 |显示全部楼层
rubik-fan 发表于 2012-7-17 16:56
补充了这一点之后,楼主的问题变得很有意思。
说一下思路:
1、n阶魔方之所以会出现多种状态,是因为同簇 ...

关于第2点,边棱块也可以填2种颜色(您在2楼已给出了方案)。这个有多少种呢?
第三种方案就是各面单色(包括不着色),首先能想到的答案。即14楼的(m+1)种.

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发表于 2012-7-17 17:24:20 |显示全部楼层
本帖最后由 乌木 于 2012-7-17 17:32 编辑

要三阶魔方只有一个态,三个簇不必非用三种颜色不可。

此外,6色选3色的选法为6*5*4/(3*2)=20种。

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发表于 2012-7-17 17:26:47 |显示全部楼层
本帖最后由 rubik-fan 于 2012-7-17 17:27 编辑
乌木 发表于 2012-7-17 17:24
要三阶魔方只有一个态,三个簇不必非用三种颜色不可。
此外,六色选三色,不是6^3种选法,而是6*5*4种选法 ...


为什么六色选三色是6*5*4呢?三簇可以重复选色的时候不是6^3吗?例如一个纯红色的三阶魔方,是6^3种方案之一,而不是6*5*4种方案之一。
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发表于 2012-7-17 17:35:26 |显示全部楼层
rubik-fan 发表于 2012-7-17 17:26
为什么六色选三色是6*5*4呢?三簇可以重复选色的时候不是6^3吗?例如一个纯红色的三阶魔方,是6^3种方案 ...


16楼已修改。

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发表于 2012-7-18 10:58:03 |显示全部楼层
本帖最后由 黑白子 于 2012-7-19 13:44 编辑

如果是2阶魔方,答案是m种(不考虑不着色)。
2阶以上情况变得复杂了。
3阶魔方的情况,例如n=3,m=3时
因为3阶魔方共有3种簇,所以
1、3种颜色仅使用1种颜色时,有3种方法;
2、3种颜色仅使用2种颜色时
第一步:先确定使用哪2种颜色
先从3种颜色中任选2种颜色,有3种方法;
第二步:确定给哪些簇着色,共3种组合;
第三步:再用2种颜色给每种组合着色,有2种方法
根据乘法原理,共有3*3*2=18种方法。
3、3种颜色都使用时
第一步:确定给哪些簇着色,共3种;
第三步:再用3种颜色给每种组合着色,有3!=6种方法
根据加法原理共有3+18+6=27,即共有27种方法。3阶魔方最多能使用3种颜色。
这么思考有重复和遗漏吗?
4阶魔方也是3种簇,但中棱块簇既可以使用1种颜色,也可以使用2种颜色。情况更加复杂。

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超级搬运工

发表于 2012-7-18 11:35:40 |显示全部楼层
归根结底,问题的实质是:状态数是1的N阶魔方最多能有几种颜色同时着色?

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