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关于三阶魔方中间层的旋转问题 [复制链接]

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发表于 2013-2-17 10:50:40 |显示全部楼层
1、求证:同一个三阶魔方,转动其任何方向的中间层(但不连续转动同一方向的中间层)n次(n小于一百),得到一种形态。如果不按原公式(包括逆算法)返回的话,则至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原?
2、求证:同一个三阶魔方,转动其任何方向的中间层(但不连续转动同一方向的中间层)n次(n等于一百),得到一种形态。如果不按原公式(包括逆算法)返回的话,则至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原?
3、求证:同一个三阶魔方,转动其任何方向的中间层(但不连续转动同一方向的中间层)n次(n大于一百),得到一种形态。如果不按原公式(包括逆算法)返回的话,则至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原?

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发表于 2013-2-17 10:58:34 |显示全部楼层
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发表于 2013-2-18 17:17:56 |显示全部楼层
本帖最后由 乌木 于 2013-2-18 19:14 编辑

“同一个三阶魔方,转动其任何方向的中间层(但不连续转动同一方向的中间层)n次…………,得到一种形态”,
如果最后这个状态恰好是复原态,则问题 “…………至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原?” 的答案是0步。
如果最后这个状态不是复原态,比如是状态A,则问题 “…………至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原?” 的答案是至少2步——如果定义表层一转90°为“一步”,那么,那批最后状态A之中,最简单的就是某一中层需要一转90°,魔方即复原,中层90°相当于两个表层90° ,所以答案是至少2步。
对吧?

关于 “但不连续转动同一方向的中间层” 这个条件,应该是指不能做比如E2,S2或M2之类的转动,对吧?
否则连E,S,或M也不能做了,因为E就是E' E' E' ,后者是不能做的,所以E也不能做了。
还有,连不做任何中层转也不可以了,因为比如M中层不动,相当于做了M M M M ,这样的“连续转动”也是不可以的,所以,任一中层不转也是不可以的。
这样,该怎么转中层呢?

至于n小于、等于或大于100,恐怕区别不大的吧?或许n越大,出现上述两种最简情况的概率越大?

是否还有一个条件,即转中层打乱之前,初态是复原态?

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发表于 2013-2-18 19:00:50 |显示全部楼层
本帖最后由 乌木 于 2013-2-18 19:27 编辑

或许,不能只看“最简”情况,应该探讨一般的情况。
题目的条件表明,8个角块不变,故可以作为魔方变化的参照物。
转某一中层时,只有它所含的四个棱块发生移动,另两个中层所含的四个棱块无动于衷。而中心块则会因不同的中层旋转而有所变化。
按照题目条件运动的结果,如果各中层所含的四个棱块都没有复原,则各中层或者要顺转90°,或者要逆转90°,或者要转180°,也就是至少各转90°。
至此,角块和棱块都已复原了,中心块如果没有复原(此时以角块为参照物!),那么,还要调整中心块——要么中心块组要作某一方向的、整体180°的、相对于角块的旋转(即“四面回字”),要么中心块组要作两个方向的、共两个整体90°的、相对于角块的旋转(即“六面回字”)。不可能有中心块组要整体旋转奇数次90°的。
一般以表层90°转为“一步”,所以,
复原棱块时, “三个中层至少各转90°”, 就是6步;
复原中心块时,对于 “六面回字” ,两个中层共转4个90°,就是8步;
复原中心块时,对于 “四面回字”,有两种公式,换成表层转后,都是12步。

综合考虑,6步(若棱块都要复原)加8步(若遇“六面回字”),答案是14步。

例如那样打乱后状态如下图的初态,复原棱块做三次中层转,复原中心块做四次中层转,换成表层转为14步:

  
  
  
  
  
  
  
  

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发表于 2013-2-18 20:01:46 |显示全部楼层
楼上的原魔方吧java图怎么显示得极慢极慢呢?!下面用胡波java,头三转是复原棱块,后四转是复原中心块:















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发表于 2013-2-18 20:24:19 |显示全部楼层
如果最后这个状态恰好是复原态,则问题 “…………至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原?” 的答案是0步。
如果最后这个状态不是复原态,比如是状态A,则问题 “…………至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原?” 的答案是至少2步——如果定义表层一转90°为“一步”,那么,那批最后状态A之中,最简单的就是某一中层需要一转90°,魔方即复原,中层90°相当于两个表层90° ,所以答案是至少2步。

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发表于 2013-2-18 20:24:46 |显示全部楼层
复原棱块时, “三个中层至少各转90°”, 就是6步;
复原中心块时,对于 “六面回字” ,两个中层共转4个90°,就是8步;
复原中心块时,对于 “四面回字”,有两种公式,换成表层转后,都是12步。

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发表于 2013-2-19 21:36:04 |显示全部楼层
本帖最后由 hubo5563 于 2013-2-20 10:55 编辑

    中间层转动,可以参考角块。如果角块固定,只转中间层,中心和棱块是运动的。第一个中心可以运动到6个位置,第二个中心除了第一个中心和对面中心外,有4个位置,第二个中心确定后,其他中心就确定了,因此,中心的运动最多有24种状态。转动中层只有三个操作可选,这三个中层转动时,棱块没有相交叉的,因此是独立的,每种转动有4种状态,因此共有4×4×4=64种状态,因此,只转中层,最多有24×64=1536种状态。
    由于棱块运动是独立的,因此,如果不管中心,棱块最多用3步能复原,加上中心,我估计最多7步应该能复原。

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发表于 2013-2-20 10:50:22 |显示全部楼层
本帖最后由 hubo5563 于 2013-2-20 10:58 编辑

经过编程计算只转中层共有768个状态,最大需要5步。
转动一次中层算一步,不管是90度,180度还是270度。
转动步数: 状态数
   0步:     1
     1步:     9
     2步:     51
     3步:     247
     4步:     428
     5步:     32
总状态数768个。

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发表于 2013-2-20 15:13:26 |显示全部楼层
乌木 发表于 2013-2-18 20:01
楼上的原魔方吧java图怎么显示得极慢极慢呢?!下面用胡波java,头三转是复原棱块,后四转是复原中心块:
...

这个四步:















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