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数学家解不出小学奥数题能证明啥 [复制链接]

lzy5010

红魔

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发表于 2013-2-25 07:53:14 |只看该作者 |倒序浏览

数学家解不出小学奥数题能证明啥

复旦大学数学系沈雄风

   有媒体近日报道说，有一道小学奥数题将一位大数学家难倒了。

　　被“难倒”的大数学家是俄罗斯的安德烈·奥昆科夫，主要研究表示论及其在代数几何、概率论和数学物理等领域的应用。2006年，奥昆科夫因在“概率论、表示论和代数几何的相互作用”方面取得杰出成果而获得菲尔茨奖。看到题目，奥昆科夫先生仔细看了几遍，最终有些不好意思地笑了：“呵呵，我能不能不做这道题？感觉我现在的思路比较混乱……”

　　题目

　　问题“很简单”

　　这道题目是这样的：

　　问：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……前500个数的和是多少？

　　解法一：这个数列里有1个1、2个2、2个168、3个3、4、5、……、165、166、167，所求的和=1+2×2＋2×168+3(3+167)÷2×165=42416。

　　解法二：把1、2、3；2、3、4；3、4、5……；165、166、167；166、167、168；167、168写成三个数列： 1、2、 3……165、166、167，2、3、4……166、167、168，3、4、5……167、168，这样，所求的数列的和就等于上述三个数列的和，也就是：(1+167)÷2×167+(2+168)÷2×167+(3+168)×166÷2=42416。(据网上公布答案，漏掉了数列中的省略号，与数列之间的逗号。)

　　真像奥昆科夫看到题目的最初反应，“哦，很简单”，与大数学家高斯小学一年级时快速算出的“求1到100所有自然数之和”属一个类型，不过是3个等差数列叠加而已。学奥数的小学生解这道题一般都不会有困难，那么，获得有数学诺贝尔奖之称的菲尔茨奖的奥昆科夫先生怎么会在真的“很简单”的题目前卡住了呢？

　　求证

　　职业病影响解题思路

　　笔者接受过高等的数学专业教育，在我看来，之所以奥昆科夫先生不能解出这道题，可能是数学家特有的职业病在作祟。

　　一般中国小学生的解题法是2个步骤：

　　1.看出这串数列的规律，并给出前500项的通项公式(或以小学生自己能理解的通项表达)；

　　2.根据通项公式(此处是3个等差数列叠加)，应用等差数列求和公式(或数理上一致的求和方法)，分别求出3列等差数列的和，并相加。

　　但是，作为数学家和数学专业的学生来说，步骤应当是：

　　1.看出这串数列的规律，大致猜测前500项的通项公式或递推公式；

　　2.证明该数列每一项都满足所猜想的通项公式或递推公式；

　　3.求和。

　　奥昆科夫先生有很大可能就是脑海中比小学生们多了“证明通项公式是否正确”这一步，结果也就卡死在这里了，所以奥昆科夫先生感觉“现在的思路比较混乱”。

　　在高等的数学里，一般给出数列的递推公式让你求通项公式，或者反之。简单的数列求和问题，一般总给出递推表达式或者通项表达式。而本题，两者都没有给。为什么不给，是因为一旦给出后，本题对小学生而言，80%的难度就没有了。

　　作为数学家，数理逻辑必须严密。被跳过的一步，在奥昆科夫先生眼里，是不能越过的深渊了。这便是数学家的职业病。所以，奥昆科夫先生解不出这道题目，可能是他想得太多。与小学生或者有些家长解不出这道题，性质完全不同。

　　结论

　　不符合高数出题要求

　　之所以奥昆科夫先生想得太多，就是因为那道奥数题不太符合高等的数学的出题要求。如果把这题出成这样：“1、2、3、2、3、4、3、4、 5……n-4，n-3，n-2，n-3，n-2，n-1，n-2，n-1，n，(n是这个数列的第500个数)，求这500个数之和”，估计奥昆科夫先生就不会卡壳，而只要看得懂这种代数表示法的中国小学生，一定会高兴得要欢呼。因此，出现大数学家解不出小学奥数题的尴尬局面，大抵还是可以归类到“语言障碍”上去。但如果奥昆科夫先生不想那么多，不“思路比较混乱”的话，我想他大概也不能成为数学家了。

　　
笔者想起另一位大数学家希尔伯特解的一道奥数题：

　　甲乙两人相向而行。甲随身带一条狗，狗从甲处向乙处奔跑，遇到乙后即折返回甲处；遇到甲后即折返再跑向乙……那么当甲乙相遇时，狗跑了多少路程？

　　一般的解法，是算出甲乙相遇需要的时间，再乘以狗的速度(或许应该叫速率)即可。

　　希尔伯特却不是那么算的。他将狗每2次折返之间的跑过的路程用代数式算出，然后写出一列趋于零的无限项正值加项，并算出了这个正项级数。而令人惊异的是，这一无穷项数列求和，是用心算完成的。

　　所以，希尔伯特是大数学家，他的贡献已经不是菲尔茨奖能评价的了。

　　推论

　　不合格的伪问题不成立

　　笔者是想说明(不是证明)，数学家解不出小学奥数题(数学家解不出中学国际数学奥林匹克竞赛试题是很正常的，并被认为是国际中学数学奥林匹克竞赛的骄傲)，与“奥数能否培养出数学家”这样的问题没有关系。在数学上说是“推不出”。不知哪个名人说过：“数学是思想的体操”，因为我学奥数、学数学的亲身体验，告诉我这是真理。“数学家解得出解不出小学奥数题”，“数学家小时候有没有参加过奥数竞赛”，推不出“奥数能否培养出数学家”；“奥数能否培养出数学家”，推不出“在中小学里是否要开展奥数教育、奥数竞赛”，这道理在受过数学训练的人看来是十分明了的，而且也可一眼看出“奥数能否培养数学家”是像那道奥数题一样不合格的问题，一个伪问题，因为对“培养”“数学家”未作界定。

　　现在有围剿奥数的种种言论，甚至提到甚于“黄赌毒”的吓人的高度。不说观点正确与否，从学数学的人看来，证明方法就是不合逻辑的。这大概就是学不学数学的差别。所以，作为思维工具、思想体操，还是要学点数学，而奥数被证明是训练数理思维的有效手段，否则，国际上为什么要年年举办中学生奥数竞赛？



二水日月  2013-02-21 10:03:28解法：（1+169）/2×169×3-（169×4+3）=42416

2013-02-25 07:27:44
我的解法是：先借一个数169.这样题目变成求前501项的和。解法就简单了。
（2+168）*3*167/2-169=85*501-169=42416

该文作者的意见“之所以奥昆科夫先生想得太多，就是因为那道奥数题不太符合高等的数学的出题要求。”和“数学家的职业病，恰恰证明他具备异于常人的数学家的素质。”我觉得不是“不太符合高等的数学的出题要求”，而是没有变通，先借第501项“169”。不就符合高等的数学的出题要求吗？计算答案后再去掉借来的第501项。是思维方式的转换。人们爱说：“既然不能改变世界，就改变自己吗”？改变自己其实更难，但改变思维方法就容易多了。

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