四阶纯色魔方状态数计算公式

无言的季末

黑白子 发表于 2013-9-6 21:45
分子中8!是八个角块的全排列，3^7是八个角块的色向总数，24!是24个棱块的全排列，24!/2是心块的全排列。
...

学习了..........

洛阳狼王

没看懂                                   

xujl1997

4阶和5阶的6个中心，是没有公式，纯粹靠观察一个个想出套路完成的吧。

zyxs

心都碎了 这么多

乌木

xujl1997 发表于 2013-9-7 10:44
4阶和5阶的6个中心，是没有公式，纯粹靠观察一个个想出套路完成的吧。

其实，你可以把你说的“套路”理出一些来，能够解决同类问题，就是公式了。

乌木

四阶心块簇的奇偶态变换只与角块簇的奇偶态变换相互制约，即两个簇要么都是奇态，要么都是偶态，而心块簇与边棱块簇的奇偶态变换无关，两者互相独立。
由此，计算中心块的位置变化数的“/2”，只需联系角块，无需涉及边棱块。
比如，复原态时各簇都算偶态，分别做：
表层一转90°：边棱块有两个四轮换，故仍为偶态；角块和心块都有一个四轮换，都切换为奇态。
第二层一转90°：角块无关；边棱块有一个四轮换，变成奇态；心块有两个四轮换，仍为偶态。

！！！！！

黑白子 发表于 2013-9-6 21:31
每面4个心块完全一样，共有6组，每组4块。每组可以有4！种方式，但是看上去这4！种方式是完全一样的，这6 ...

好高深。。学渣路过表示看不懂。。

乌木

！！！！！ 发表于 2013-9-7 17:35
好高深。。学渣路过表示看不懂。。

这是说的“纯色四阶”，24个心块中每四个是同色的，再怎么打乱，四个同色的心块乱布于魔方的六个面中，比如四个红色心块，恰好分布在顶、右、前和左面的某一处，构成一种四个红心的花样，假如标记为红1、红2、红3和红4，这四个红心块在那四个位置上可以有4！＝24种布排方式：
1234，1243，1324，1342，1423，1432，
2341，2314，2431，2413，2134，2143，
3412，3421，3142，3124，3241，3214，
4123，4132，4213，4231，4312，4321。
但是，擦去标记后，这24种排列方式只能算作一种方式，进一步考虑，对于红1～红4心块在24个位置上的所有排列方式，每24种都只算作一种，故分母上要来个4！，也就是每24种花样都算作24/24＝1 种花样。
共六组同色心块，所以分母上有4！x4！x4！x4！x4！x4！＝4！^6 。
考虑到角块位置排好后，最后两个心块的排列法只有一种选择，可以假定这两个最后心块是同色的，相应的最后一组四个同色的心块的排列方式就不是4！种而是4！/2＝12种，所以上述4！^6要修正为4！^5 x (4!/2)=4！^6  / 2  。

至于为何“角块位置排好后，最后两个心块的排列法只有一种选择”？
因为随机组装角块和心块时，有8！x24！种排列方式，其中一半是可复原的奇态角块组合奇态心块或者偶态角块组合偶态心块，另一半是装得出却转不出来的奇偶组合或者偶奇组合，必须排除，也就是分子上有 8！x24！/2 。
可见，也可以解释为：24个心块排定后，最后两个角块的位置只有一个选择，所以角块的位置变化数为8x7x6x5x4x3x1＝8！/2 ，分子中还是8！x24！/2 。
分子上另一个24！不修正，因为四阶的边棱块可以独立交换任意两个块，也就是棱块簇是奇态或是偶态是独立变化的，与角块-心块是奇还是偶无关。

乌木

实例演示。
棱块一个二交换，棱块簇成为奇态，同时角块-心块簇保持复原态，处于偶态：













棱块一个二交换成为奇态，同时角块-心块都有一个二交换处于奇态：













可见，四阶棱块的奇偶变化独立于四阶角块-心块的奇偶变化。

至于四阶角块簇和心块簇不可能一奇一偶，也不可能一偶一奇，为什么？请思考。

乌木

顺便说一下，四阶的情况还是不完整的，比如，到五阶时，其边棱块就不能独立做奇偶变换了，因为五阶出现了“直心块”。四阶的心块属于“斜心块”，四阶没有直心块，因而“便宜了”四阶的边棱块。
五阶第二层一转90°后，斜心块有两个四轮换，斜心块簇的奇偶性不变；边棱块和直心块都有一个四轮换，两个簇都要切换奇偶性，此时，五阶的边棱块就不再独立了。

下面的演示结果是边棱块有一个二交换，同时直心块也有一个二交换，边棱块簇和直心块簇相互制约着，要么都是奇态，要么都是偶态，不可能一奇一偶，也不可能一偶一奇：