由魔方的 相似变换 分析 整体翻转 的性质 [修复贴]

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    应 黑白子 的要求，现将主题帖 《由魔方的 相似变换 分析 整体翻转 的性质》
  
      http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=8598
  
修复一下。 请大家注意，所有内容都是原帖内容的翻版，如有 定义、论述 与现行的
  
定义、论述 发生冲突，本人就不再纠错了，以保持原有内容的“原汁原味”，请各位
  
魔友谅解。
  
　　
　　
　　
　　
　　
　　

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    一、魔方 相似变换 的定义
  
  
      1、魔方 相似变换 的定义：
  
      设 A 、B 、X 为魔方任意变换，并且满足 B = X' A X ，则称 变换 B
  
是 变换 A 的 相似变换 。
  
   
      由魔方 相似变换 的定义，得到 若 变换 B 是 变换 A 的 相似变换
  
那么存在变换 X 使得  B = X' A X ，
   
      则 X B X' = X ( X' A X ) X' = ( X X') A ( X X') = A
  
      即 A = X B X'  ，从而反过来得 变换 A 也是 变换 B 的 相似变换 。
  
  
      故 满足 B = X' A X 时，我们称 变换 A 、变换 B 互为  相似变换  。
  
  
  
      顺便说一下： 相似变换  具有 反身性、对称性、传递性 等性质。
  
  
　　
　　
　　

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      2、魔方 相似状态 的定义：
     
  
      我们对魔方的 复原状态 进行 变换 A 的操作后得到的状态称为
  
状态 A ； 同样 对魔方的 复原状态 进行 变换 B 的操作后得到的状态
  
称为 状态 B ， 等等 。
  
  
     如果  变换 A 、变换 B 互为  相似变换  ，我们称它们所对应的
  
       状态 A 、状态 B 互为  相似状态  
  
  
  
      同样  相似状态  也具有 反身性、对称性、传递性 等性质。
  
  
  
  
      由于 状态 被 变换  唯一确定 的特殊关系，因此很多时候
  
我们 把 状态 A 也称为 变换 A ，在不太严谨的时候 或 通常 我们可以
  
把  状态 A  称为  变换 A ；  把  相似状态 称为 相似变换  。
  
  
  
  
  
　　

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        3、 相似变换 不改变魔方的 环结构 （证明 从略）。
  
         请大家参考：循环公式的一种现象 （作者： 大烟头）
      
          http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=562
  
         我来玩玩 正六面体三阶魔方 －－－《循环公式》（本人拙作）
   
          http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=181
     
         由 相似变换 不改变魔方的 环结构 ，直接得到：
  
        如果 变换 A 、变换 B 互为  相似变换 ，则它们的 最小循环
  
周期 相等。  （ 也可用 B = X' A X  直接证明，证明很简单 从略 ）
  
  
        输入并查看公式环结构  等  的软件：
  
       http://www.randelshofer.ch/cubet ... ister1.0.3.1Win.exe
      
   
   
      正六面体三阶魔方环结构 Java 软件，可惜是一开始是 德国 语法，
  
每次都需要设置：  　　 相似变换不改变魔方的环结构.rar (854 Bytes, 下载次数: 5)

2013-9-11 20:32:43 上传

下载次数: 5

　　
　　
　
　　
　　
　　
　　
　　

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      二、由魔方的 相似变换 分析 整体翻转
  
  
       我们知道如果 A 、B 、X 满足 B = X' A X ，则称 变换 B 是
  
变换 A 的 相似变换 。 并且 相似变换 不改变魔方的 环结构 。因此
  
我们由魔方的 相似变换 分析 魔方的 “整体翻转” 。设 魔方的某个
  
整体翻转 为 Z ，下面我们看看这个 整体翻转 Z 都有那些性质。
  
   
  
  
　　
　　
　　
　　

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        1、 把 整体翻转  Z 当作 X 的性质： B = Z' A Z   
  
            此时 A 与 B 的关系为 自同构 ，Z 的功劳不可低估，
  
        相关内容请大家参考：
  
           最远态小于26步之论文摘录 （作者： noski）
  
             http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=6704
   
           正六面体 二 阶魔方 自同构 实例 26 ～ 40 楼（本人拙作）
  
             http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... page%3D1&page=3
  
  
     
      
　　
　　
　　

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        2、 把 整体翻转  Z 当作 A 的性质： B = X' Z X   
  
         此时 B 与 Z 的关系当然为 整体翻转 的 相似变换 。
  
         不同的 X 、Z 就有不同的 相似变换 ，而且这些 相似变换
  
全部 都是 整体翻转 的 相似变换 。
  
  
  
          整体翻转  Z 对于 正六面体 N 阶魔方 有 24 个不同状态，
  
对于其他 各类魔方 各不相同，却都还是  定值 。
  
  
          但 X 就大不一样了，不同的 X ，相同的 Z ，其 B = X' Z X  
  
的个数与 X 、Z 的关系比较复杂。
  
  
          当然，不同的 X ，不同的 Z ，其 B = X' Z X 中 B 的个数与
  
X 、Z 的关系还要复杂，还是留给大家研究吧。（本人比较忙）
  
  
      下面给大家一些“正六面体三阶魔方”简单的例子，让大家领悟魔方
  
整体翻转 并不简单 。  也希望大家积极跟贴探讨研究魔方 整体翻转 的各种
  
性质。  我在这里算是 抛砖引玉 了。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

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Z = CU	X = R	B = R' CU R

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Z = CU CB	X =  R F'	B = F R' CU CB  R F'

　

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Z = CU CB CF	X = R F'L	B = L'F R' CU CB CF R F'L