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楼主: ggglgq

[原创]魔方循环变换理论概述（待完善） [复制链接]

ggglgq

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发表于 2005-12-14 19:46:36 |只看该作者

以下是引用ggglgq在2005-11-16 10:51:21的发言：

“奇偶差异性”魔方的性质

“奇偶差异性”魔方的性质：具有“奇偶差异性”的魔方的奇、偶状态独立。

由于 “奇偶差异性”的魔方只能有步长为偶数的循环变换，因此决定了她的任何奇数
步长的变换都无法被偶数步长的变换表示，从而决定了这种魔方的“奇、偶差异性”，
即这种魔方的奇、偶状态独立。

这两天大家争论的所谓的“扰动”、“非扰动” 本质上就是这种魔方的“奇、偶差异性”。
她是因为她不存在步长为奇数的循环变换造成的。这不能不说是“缺憾”，可惜的是正六面体
N 阶魔方都是这种具有“缺憾”的魔方。

反过来说，比如正十二面体五魔方存在长度为 5 的循环变换，所以正十二面体五魔方
不是“奇偶差异性”的魔方，因此正十二面体五魔方不存在所谓的“扰动”、“非扰动” 。

以下是引用jinyou在2005-12-14 11:00:15的发言：

几个问题

想知道面块的处理复原方法。
是不是有高手知道内部虚拟魔方的处理复原方法，做到完全复原。
内部虚拟魔方和外部魔方是否没有关系，即理论上内外是否都能转到我要的图案。

本人来发表些拙见，就算抛砖引玉吧！

1.面块的复原可以按照常规方法复原（网上很多，不再介绍），金优先生
是这方面的高手，您过谦了。
2.如果面块复原了，便可以按照 3 楼的方法或者参照本人的拙作：
[原创]我来玩玩“正六面体三阶魔方”－－－《循环公式》复原内部虚拟魔方。
3.如果面块复原了，那么内部任何虚拟魔方都不会出现所谓的“扰动现象”，
反之如果内部任一虚拟魔方出现了所谓的“扰动”，那么，面块肯定没有复原！
4.由 3 可以得出：内部虚拟魔方和外部魔方存在某种制约关系的，即理论
上内外不能都转到我们想要的图案。
5.不能简单地把这种“内部、外部魔方存在的某种制约关系”描述为“扰动”，
因为最外层的“扰动”不影响内部，但内部的“扰动”一定影响最外层。
6.可惜的是，这样的“某种制约关系”在理论区暂时无法得到有效的统一。
因为那里的理论好象也存在“某种制约关系”。[em01]而这种“制约关系”恰恰
是 2 楼问题的答案。本人目前无暇更无意去掺和这种“制约关系”。[em07]

7.用“循环变换理论”解释这种“制约关系”很简单，就是对应的“转层”
均应保持“奇偶相同性”！相关论述请参考本人拙作：“奇偶差异性”魔方性质。

8.欢迎大家在这里无拘无束地畅谈这种“内部、外部魔方的制约关系”。

大家不妨用金优先生的“内部虚拟魔方软件” ，
在这里研究金优先生提出的上述问题。

[此贴子已经被作者于2006-3-5 11:27:08编辑过]

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jinyou

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发表于 2005-12-15 14:15:28 |只看该作者

请注意：我的软件时常需要修改。

金优的解法镜像

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Bannce

蓝魔

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发表于 2005-12-18 23:17:34 |只看该作者

看来以偶的智商是难以理解了...

终于能在一小时内拧好魔方了...激动ing...

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ggglgq

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发表于 2005-12-26 21:25:39 |只看该作者

以下是引用jinyou在2005-12-22 9:50:03的发言：

猜想：内部虚拟魔方的状态，与外部面块的完全复原有干扰。
如果能证明，就是定理。

以下是引用ggglgq在2005-12-14 17:38:43的发言：

7.用“循环变换理论”解释这种“制约关系”很简单，就是对应的“转层”
均应保持“奇偶相同性”！相关论述请参考本人拙作：“奇偶差异性”魔方性质。

高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”保持“奇偶相同性” 的简单“证明”（阐明）

一、高阶魔方的“最外层”、任意嵌套魔方的“中间层”（奇数阶魔方才有“中间层”）：

1.高阶魔方的“最外层”与它自己具有“奇偶完全相同性”。

2.任意嵌套魔方的“中间层”（奇数阶魔方才有“中间层”）具有“奇偶完全相同性”。

二、高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”步数和具有“奇偶相同性”：
（以五阶魔方为例阐明，下面举的例子的内部嵌套魔方全部都是完全还原状态）

1.嵌套魔方对应的同一“转层”相差 “偶数步（奇偶相同性）”的实例：

2.嵌套魔方对应的两个对应的“转层”相差“奇数步”（两个奇数和还是偶数）的实例：

3.由 1、2 两方法组合构造出的具有“奇偶相同性”的“转层”：
如果各嵌套魔方对应的“转层”步数和相差 “偶数步” ，那么我们总可以通过
1、2 两方法使它们对应的“转层”达到“奇偶完全相同”。

小结：高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”步数和具有“奇偶相同性”。

三、高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”是不可能发生“奇偶差异性”的：

因为正六面体 N 阶魔方是“奇偶差异性”魔方，即：对应的“转层”的奇数步状态
与偶数步状态不能互相表示。因此高阶魔方的任意嵌套魔方的对应的“转层”是
“奇偶相同的”。

换言之，高阶魔方任意嵌套魔方对应的“转层”是不可能发生“奇偶差异性”的。要么
同时“奇数步”，要么同时“偶数步”。

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发表于 2005-12-26 21:27:35 |只看该作者

高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”步数和具有“奇偶相同性”的实现方法举例说明：
（用五阶魔方的实现方法各举一例。下面的例子的内部嵌套魔方全部都是完全还原状态）

1.嵌套魔方对应的同一“转层”相差 “偶数步（奇偶相同性）” 的实现方法：

2.嵌套魔方对应的两个对应的“转层”相差“奇数步” 的实现（两个奇数和还是偶数）：

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发表于 2006-1-7 15:45:35 |只看该作者

<DIV class=quote>以下是引用jinyou在2006-1-4 10:34:29的发言： 
随机装配魔方是否能完全复原的快速判断方法。 魔方的基本概念在此不解释了。以下只讨论虚拟五阶魔方。
虚拟五阶魔方125个小块共分为9组加1个中心连轴（有位置） 外部中心块组含6块（有色向） 内部中心块组含6块（有色向） 内部角块组含8块（有位置，还有色向） 内部边块组含12块（有位置，还有色向） 外部角块组含8块（有位置，还有色向） 外部边块组含12块（有位置，还有色向） 外部侧边块组含24块（有位置） 外部斜心块组含24块（有位置） 外部直心块组含24块（有位置）
由于小块形状不同，只能在同组的位置里交换位置。 求一组内各小块交换到复原情况所需要的交换次数，为奇数次称为奇态记作“=1”，为偶数次称为偶态记作“=0”。 两块对换称为交换一次，魔方的任意两个“能完全复原的形态”互相变化，需要交换偶数次，而不可能交换奇数次。 中心连轴共有24种位置。假设中心连轴上的小块也能交换，中心连轴位置需要的交换次数，为奇数次称为奇态记作“=1”，为偶数次称为偶态记作“=0”。 中心块有4种色向取值为0，1，2，3。求一组小块的色向之和除以2的余数，如果余数为零，记作色向=0。不为零，记作色向=1。它们有位置特点。 边块有2种色向取值为0，1。求一组小块的色向之和除以2的余数，如果余数为零，记作色向=0。 角块有3种色向取值为0，1，2。求一组小块的色向之和除以3的余数，如果余数为零，记作色向=0。
猜想魔方特性： 内部角块组色向=0；内部边块组色向=0；外部角块组色向=0；外部边块组色向=0。
以下是交换位置的特点 外部角块组 = 外部中心块组色向 = 外部斜心块组 内部角块组 = 内部中心块组色向 = 外部侧边块组
中心连轴位置 = (内部角块组 + 内部边块组) mod 2 中心连轴位置 = (外部角块组 + 外部边块组) mod 2
外部侧边块组 = (外部斜心块组 + 外部直心块组) mod 2
符合这些特点的就说明，这样装配的魔方能完全复原。
如只研究交换位置。即只有8种情况（竖排） 中心连轴位置 0 0 0 0 1 1 1 1 外部中心块组 0 0 1 1 0 0 1 1 外部角角块组 0 0 1 1 0 0 1 1 外部边边块组 0 0 1 1 1 1 0 0 内部中心块组 0 1 0 1 0 1 0 1 内部角角块组 0 1 0 1 0 1 0 1 内部边边块组 0 1 0 1 1 0 1 0 外部侧边块组 0 1 0 1 0 1 0 1 外部斜心块组 0 0 1 1 0 0 1 1 外部直心块组 0 1 1 0 0 1 1 0 这是穷举得到的。举了几万次，显然与总可能数相比是忽略不计的。 乱装的完全复原率为8/(1024*2*3*2*3)=1/4608
证明思路： 魔方所有合法的转动动作都可以用4个基本动作来表示。这四个基本动作是U，MUU，CU，CR。用穷举法即能证明，略。 U 改变了外部中心块组，外部角块组，外部边块组，外部斜心块组，外部直心块组的奇偶态。外部侧边块组奇偶态不变。内部中心块组，内部角块组，内部边块组不影响。 MUU 改变了外部侧边块组，外部直心块组，内部中心块组，内部角块组，内部边块组的奇偶态。外部斜心块组奇偶态不变。外部中心块组，外部角块组，外部边块组不影响。 CU，CR略。影响多个组。
在定义好每个位置的色向0，1后，对色向也可以做类似的证明。 另外4阶只是把5阶魔方藏去一部分，没有用理论去单独研究的必要。但是，人玩确实很有趣。
因为强行考虑虚拟内部情况，看来和忍冬的表述有差异。
金优</DIV>

 金优先生总结的很精辟，再详尽些就可成为一部真正意义上的“正六面体 N 阶魔方(内外嵌套)” 定律。
  

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-2-3 12:02 编辑 ]

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发表于 2006-2-13 12:20:19 |只看该作者

为了使大家更好地理解魔方的最远状态（或任意状态）与循环变换的关系， 我在这里用二阶平面魔方的最远状态（二阶平面魔方只有一个最远状态）做说明：
注：因为二阶平面魔方 只有一个最远状态 ，大家好理解，其它魔方同理。
      1.找到一个循环变换（很难找的，对于二阶平面魔方当然容易了）； <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-2/20062131251399109.gif"> 
            比如二阶平面魔方的一个最长的循环变换（由两个最长变换构成）：
                        L R U D R L D U     
     2.由于一个循环变换的 “逆变换”也是循环变换，故得到 L R U D R L D U  “逆变换” U D L R D U R L  也是一个循环变换。     
（请大家注意，对于其他魔方来说 L R U D R L D U “逆”为 -U -D -L -R -D -U -R -L ， 对于二阶平面魔方才有 -U -D -L -R -D -U -R -L = U D L R D U R L ，因为它 有长度为 2 的循环变换：比如 U U 。这一点对其他魔方不适用的）   
  
  
  
    3.由循环变换 L R U D R L D U 得到以下八个半子变换都是最远状态：           L R U D           R U D R              U D R L                 D R L D                     R L D U                          L D U L                            D U L R                                U L R U        4.由循环变换 U D L R D U R L 得到以下八个半子变换都是最远状态：              U D L R            D L R D                L R D U                   R D U R                       D U R L                           U R L U                               R L U D                                   L U D L    
     
          5.二阶平面魔方只有一个最远状态，大家可以试试。其他魔方可就复杂多了！ 以上十六个半子变换（全是最少步变换）都指向同一个最远状态。 
<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-2/20062131251399109.gif"> <A href="http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=18&ID=153&star=1&page=1" target=_blank> </A> 
[此贴子已经被作者于2006-2-13 12:26:16编辑过]

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:34 编辑 ]

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发表于 2006-2-13 18:51:06 |只看该作者

不妨把16个“半子变换”标到图上：

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-12 10:58 编辑 ]

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发表于 2006-2-13 19:27:10 |只看该作者

走三步到第4代后，其中4个可到“最远态”，另4个（打 * 号者）再走一步的话，又回到第3代，“走不远”！这现象蛮有趣，与二阶魔方各代数量的最后几代的迅速减少现象大概一样的吧？转摘如下：

[  二阶魔方最远状态计算机程序运行结果
   完成态       1
   第01步       9
   第02步       54
   第03步    321
   第04步    1847
   第05步    9992
   第06步    50136
   第07步 227536
   第08步 870072
   第09步 1887748
   第10步 623800
   第11步    2644
   第12步       0
   总  数 3674160 ]

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-12 11:08 编辑 ]

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