[原创]基于N阶定律的魔方状态数计算公式:第三版

pengw 发表于 2005-4-4 08:31:16

忍冬----------------------计算魔方状态数向来是一个经典魔方问题,也是检验魔方理论正确与否的一个关键因素.数学意义下的魔方状态与魔方着色没有任何关系,魔方状态数与花色数可能相同也可能不同,视着色方法而定.花色数少于或等于魔方状态数,因此这里首先讨论状态数计算,再引深到纯色魔方花色计算.本文在此给出任意阶魔方状态数计算的一般性方法和计算公式. <h1>1.知识准备 </h1>掌握N阶定律,对普通排列组合知识有所了解 <h1>2.对象声明 </h1>除特别声明外,缺省以全色N阶正立方体鲁毕克魔方为讨论对象,全色魔方定义参见第5章"魔方约定" <h1>3.计算依据 </h1>扰动关系代表了基态簇与扰动簇的组合关系,扰动关系数代表基态簇与扰动簇的所有可能的组合. 依据簇内变换原则,任意基态簇和与之对应的扰动簇不存在相同的簇状态,并且彼此的簇状态数相同 保持不同扰动关系的魔方之间不存在相同的图案,并且彼此间有相同的图案数 <h1>4.计算方法 </h1>从簇内变换的角度,计算出每个簇的簇状态数 将所有簇的簇状态数相乘 将第2条的计算结果乘以扰动关系数.如果是偶阶魔方,计算结果要除24,以消除同态图案 <h1>5.公式推导 </h1><h2>5.1全色魔方有色向簇的簇状态数计算 </h2>依据中心块簇内变换原则: 中心块簇状态数:H=4*4*4*4*4*2 依据簇内通用三交换及色向变换原则: 中棱块簇状态数:M=24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*2 边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3 <h2>5.2全色魔方无色向簇的簇状态数计算 </h2>用C代表任意无色向簇,由正立方体魔方结构定义及簇内三交换原则可知,任意无色向簇状态数:C=24!/2 <h2>5.3纯色因子 </h2>对纯色魔方而言,无色向心块簇的每个簇状态,共有六组四四同色的元素,依据簇内三交换原则,每个簇状态共有24*24*24*24*24*12种相同状态,设W为纯色因子 w=24*24*24*24*24*12=95551488 <h2>5.4纯色魔方无色向心块簇状态数计算 </h2>设纯色魔方无色向心块簇的簇状态数为E E=24!/(2*W)= 24!/(2*95551488) <h2>5.5纯色魔方无色向棱块簇状态数计算 </h2>对纯色魔方而言,无色向棱块簇的每个簇状态,共有12组二二同花色的边棱块,依据簇内三交换原则,纯色魔方与全色魔方的无色向棱块簇的状态数相同,即24!/2 <h2>5.6扰动关系计算 </h2>用R代表扰动关系数,由扰动关系计算可知: n>=1 R=2n纯色魔方扰动关系与全色魔方扰动关系数相同,但是,除扰动关系Φ外,所有其它扰动关都有扰动簇丢失,这种情况对计算无影响,计算只关心扰动关系数. <h2>5.7偶阶魔方图案数计算 </h2><h3>5.7.1阶数定义 </h3>n>=1 阶数=2n <h3>5.7.2同态分析 </h3>偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24. <h3>5.7.3全色魔方 </h3>无色向簇的总数=n2-n 有色向簇的总数=1 图案数P=A*Cn2-n*2n/24 <h3>5.7.4纯色魔方 </h3>任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w),此计算排除相同簇状态 无色向棱块簇的总数=n-1 无色向心块簇的总数= n2-2n+1 有色向簇的总数=1 图案数P=A*En2-2n+1*Cn-1*2n/24 <h2>5.8奇阶魔方图案数计算 </h2><h3>5.8.1阶数定义 </h3>n>=1阶数=2n+1 <h3>5.8.2同态分析 </h3>由于中心块相对位置不变,不含中棱块的转层不能产生与魔方整体转动相同的效果,因此奇阶魔方状态无偶阶魔方的同态问题. <h3>5.8.3全色魔方 </h3>无色向簇的总数=n2-1 有色向簇的总数=3 图案数P=H*M*A* Cn2-1*2n<h3>5.8.4纯色魔方 </h3>任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w), 此计算排除纯色导致相同簇状态 无色向棱块簇的总数=n-1 无色向心块簇的总数= n2-n 有色向簇的总数=3,由于纯色导致中心块簇被排除 图案数P=M*A*En2-n*Cn-1*2n<h1>6.相关说明 </h1>纯色魔方图案计算是在全色魔方计算的基础上, 从簇中剔除重复的簇状态后的计算结果. <h1>7.纯色分析 </h1><h2>7.1簇内二义问题 </h2>纯色魔方除边棱块簇,中棱块簇,边角块簇外,每个簇都存在簇状态二义性，这些簇的块要么四四同色（心棱块簇、直棱块簇，心角块簇），或者着色不能反应自身状态变化,如中心块簇 <h2>7.2图案同构问题 </h2>同构图案:图样结构完全一致但组成颜色不一致的图案互称同构图案,这是非全色魔方特有的问题.同构图案的数量因图样结构不同而不同.如纯色复原魔方图案就没有同构图案,中心块独立转180的图案有六个同构图案. 某些计算组合数的方法要减去同构数,由于非全色魔方图案与魔方状态不对应,计算同构图案的难度因着色不同而不同,一般很复杂,这里计算的纯色魔方组合数未消同构图案. <h2>7.3扰动缺失问题 </h2>导致扰动关系缺失，如三阶的扰动关系丢失中心块扰动，但扰动关系总数不变 <h1>8.计算举例 </h1>以下是全色魔方图案数计算: 二阶组合数:         3674160 三阶组合数:         8.85801*1022四阶组合数:         7.07195*1053五阶组合数:         5.28924*1093六阶组合数:         1.31*10148七阶组合数:         3.0395*10211以下是纯色魔方图案数计算: 二阶组合数:         3674160 三阶组合数:         4.3252*1019四阶组合数:         7.4012*1045五阶组合数:         2.82871*1074六阶组合数:         1.5715*10116七阶组合数:         1.9501*10160<h1></h1>以上计算结果与国外官方网站发表的数据相互映证,从而证明计算所依据的理论-N阶魔方定律是正确的 --------------------------------忍冬 
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乌木发表于 2005-4-6 17:53:49

说实话，我没看懂。说几句门外话。在配合别人计算（由七个不同形不同色零件拼装为一个3×3×3单元）立方体花样总数时，起初发现同一花样被统计为24种花样。原来是，相当于一立方体某个面保持向上时，水平旋转的四个方位，被当作四个花样；六个面都受此“厚待”，总共就是24种了。（后来没另编程序去排除多余的23种，因工作量不算太大，用了半人工法排除了。）说以上故事，是想问问您的计算中有无考虑类似问题。数字那么大，又无具体花样出来，可不易检查呀。门外话，门外话噢！

pengw 发表于 2005-4-6 20:25:18

<DIV class=quote>以下是引用乌木在2005-4-6 17:53:49的发言：
说实话，我没看懂。说几句门外话。
在配合别人计算（由七个不同形不同色零件拼装为一个3×3×3单元）立方体花样总数时，起初发现同一花样被统计为24种花样。原来是，相当于一立方体某个面保持向上时，水平旋转的四个方位，被当作四个花样；六个面都受此“厚待”，总共就是24种了。（后来没另编程序去排除多余的23种，因工作量不算太大，用了半人工法排除了。）
说以上故事，是想问问您的计算中有无考虑类似问题。数字那么大，又无具体花样出来，可不易检查呀。
门外话，门外话噢！</DIV>
乌木朋友,要相信数学知识,能穷举的事总是有限的.首先要理解N阶定律,才能理解计算所依据的原理,最后才能对计算结果充满自信.每一个理论稍有不慎,就会被一个反例颠覆,希望被你颠覆,这样我才不会懒惰而丧志,玩笑.
全色魔方的花色与全色魔方的状态一一对应,所以全色魔方花色数的计算才具有科学意义,纯色魔方的花色与纯色魔方的状态不是一一对应,存在一个花色对应多个状态的问题,花色数比状态数少,所以不能反映魔方的真实状态.纯色魔方常见,所以在应用举列中给出了计算方法,绝色魔方组合数,严格地讲应称为花色数,自然计算结果小于魔方状态数.记住,魔方着色与魔方状态无关,魔方花色可以完全反映魔方的状态,也可能反映一部分状态,看你如何着色
[此贴子已经被作者于2005-4-7 9:24:40编辑过]

大烟头 发表于 2005-5-16 08:17:47

能否把二阶至六阶魔方组合数的计算过程的列式写出来。我最怕看长篇的理论了，教我实际应用操作就行了，看你的计算过程就知道这理论的大慨了。
[此贴子已经被作者于2005-10-3 23:22:51编辑过]

大烟头 发表于 2005-5-16 12:19:39

忍冬计算表：

pengw 发表于 2005-5-17 06:46:43

<DIV class=quote>以下是引用大烟头在2005-5-16 8:17:47的发言： 
能否把二阶至六阶魔方组合数的计算过程的列式写出来。我最怕看长篇的理论了，教我实际应用操作就行了，看你的计算过程就知道这理论的大慨了。</DIV>
首要在此感谢你助我发现二处计算错误,此外你引用的我的计算表,有错误,弃之不用.
计算时,照贴子要求,只须确定魔方的阶数及奇偶,并将参数代入相应公式即可.
本想将公式做的更直接,但对阐述原理及表达的简洁性不利.其实完全可以做成你引用的老外公式的形式.

大烟头 发表于 2005-11-24 13:26:52

<HR>
引用１楼：
。。。。。。。
5.7.2同态分析
 偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.
。。。。。。。

<HR>

奇阶魔方的层转动，也可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,奇阶魔方的一个状态有24个同构状态,
为何,奇阶魔方状态数的计算结果不除以24.
忍大师计算公式还要分两种，计算也太麻烦了，看不懂。

大烟头 发表于 2005-11-24 13:29:26

听说清道夫２看得懂，我想请他来说一下心得体会，让我学学

大烟头 发表于 2005-11-24 13:36:07

和我一样笨的、看不懂忍大师理论之人，可以先去看一下这两个国外进口的计算公式：<a href="http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=932&page=1" target="_blank" >http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=932&page=1</A>

清道夫2 发表于 2005-11-24 17:40:49

偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.
连神六回收地球都想的出来,难到就理解不了上面那句话?精英们真是惊得我目瞪口呆!

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