乌木 发表于 2012-7-17 16:25 static/image/common/back.gif
我对这题目的理解是，无论如何填色（包括不填色），也无论多少颜色，如何使一个N阶魔方打不乱（因而也就无所 ...
正是这个意思
补充了这一点之后，楼主的问题变得很有意思。
说一下思路：
1、n阶魔方之所以会出现多种状态，是因为同簇的块具有不同的颜色。
2、要想这个魔方不可能被打乱。就要做到同一簇的块，颜色完全一致。
3、接下来看看n=1、2、3、……时有多少个簇。而且要看楼主给定的m值的大小。
以n=3,m=6为例。即三阶魔方使用六个颜色可以做出多少个有唯一状态的魔方来？
三阶魔方有中心块、棱块、角块、三簇。只要保证中心块颜色全部一样，棱块全部一样，角块全部一样。这个魔方随便转动，不会被打乱。
那么，三簇块分别有六种颜色可以挑选，最后有6的3次方种配色。
推广到普通情况，n阶魔方，m种颜色可选。那么就有W种着色方案，其中：
1、m的（1/8 *n平方+1/2 *n +3/8）次方 当n=2k-1时（k>=1)
W=
2、m的（1/8*n平方 +1/4*n）次方 当n=2k时（k>=1)
从楼主的文字里不能理解出乌木老师理解的那个意思，是我的一大遗憾。
黑白子 发表于 2012-7-17 16:27 static/image/common/back.gif
正是这个意思
如果不着色也是一种选择，可以在我给出的答案上，m+1即可。表示：不着色=一种颜色（无色）。
rubik-fan 发表于 2012-7-17 16:56 static/image/common/back.gif
补充了这一点之后，楼主的问题变得很有意思。
说一下思路：
1、n阶魔方之所以会出现多种状态，是因为同簇 ...
关于第2点，边棱块也可以填2种颜色（您在2楼已给出了方案）。这个有多少种呢？
第三种方案就是各面单色（包括不着色），首先能想到的答案。即14楼的(m+1)种.
本帖最后由 乌木 于 2012-7-17 17:32 编辑
要三阶魔方只有一个态，三个簇不必非用三种颜色不可。
此外，6色选3色的选法为6*5*4/（3*2）＝20种。
本帖最后由 rubik-fan 于 2012-7-17 17:27 编辑
乌木 发表于 2012-7-17 17:24 static/image/common/back.gif
要三阶魔方只有一个态，三个簇不必非用三种颜色不可。
此外，六色选三色，不是6^3种选法，而是6*5*4种选法 ...
为什么六色选三色是6*5*4呢？三簇可以重复选色的时候不是6^3吗？例如一个纯红色的三阶魔方，是6^3种方案之一，而不是6*5*4种方案之一。
rubik-fan 发表于 2012-7-17 17:26 static/image/common/back.gif
为什么六色选三色是6*5*4呢？三簇可以重复选色的时候不是6^3吗？例如一个纯红色的三阶魔方，是6^3种方案 ...
16楼已修改。
本帖最后由 黑白子 于 2012-7-19 13:44 编辑
如果是2阶魔方，答案是m种（不考虑不着色）。
2阶以上情况变得复杂了。
3阶魔方的情况，例如n=3，m=3时
因为3阶魔方共有3种簇，所以
1、3种颜色仅使用1种颜色时，有3种方法；
2、3种颜色仅使用2种颜色时
第一步：先确定使用哪2种颜色
先从3种颜色中任选2种颜色，有3种方法；
第二步：确定给哪些簇着色，共3种组合；
第三步：再用2种颜色给每种组合着色，有2种方法
根据乘法原理，共有3*3*2=18种方法。
3、3种颜色都使用时
第一步：确定给哪些簇着色，共3种；
第三步：再用3种颜色给每种组合着色，有3!=6种方法
根据加法原理共有3+18+6=27，即共有27种方法。3阶魔方最多能使用3种颜色。
这么思考有重复和遗漏吗？
4阶魔方也是3种簇，但中棱块簇既可以使用1种颜色，也可以使用2种颜色。情况更加复杂。
归根结底，问题的实质是：状态数是1的N阶魔方最多能有几种颜色同时着色？