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标题: 小波浅谈空心魔方的数学原理 [打印本页]
作者: 小波    时间: 2009-2-9 16:48:36     标题: 小波浅谈空心魔方的数学原理

最近看到了一些关于空心魔方的帖子，也有魔友在QQ交流中谈到了这个问题，主要的问题都是关于空心魔方无法复原的问题，对这个问题我很感兴趣。为此我做了一些思考。
主要的一些疑问是何为空心魔方的未复原状态？怎么才能复原空心魔方？是否也构成组装的错误？

我的结论是空心魔方没有组装错误！因为受到中心块簇的调制，中心块簇的不存在，或者说不能分辨，正是解放了魔方的组状态，使得空心魔方的角块和棱块簇一定可以有机会不通过重组而达到“复原”状态。（烟头大哥提醒了以后纠正一下：位置上不存在组装错误，色向上存在。）

首先声明本人没有空心魔方，但是我可以把实心魔方的中心盖去掉，在数学构造上就与空心魔方等效了。

我做了如下实验：
1、
我拆了中心盖，打乱魔方，试图“复原”。为什么“复原”要加上双引号呢？呵呵，我这里的复原我得说明一下，有个概念上的偏差，这个复原的意思是各面的颜色相同，呵呵，有人说有偏差吗？回答是有的，因为此时每面只有8个块，是否与当初的中心块对齐了？我们谁都不知道。
2、复原的结果是有剩下两个位移块（角块或棱块）需要对换！
空心魔方图2.jpg

3、我又打乱之后复原了一次，这次竟然复原了！

4、之后，我仍然没有安装中心块，但是我用贴纸在每个中心块上做了标记，白色中心用W表示，红色R、黄色Y、绿色G、蓝色B、橙色O，贴在了复原状态的没有中盖的相对应中心螺丝上。有人可能会问，你这样贴和贴颜色有区别吗？我说唯一的区别是视觉上的区别，因为接下来的事情我仍然要打乱魔方以后复原，但是我仍然不参照中心，因此为了不在视觉上产生动机，我用了代号来区别每个中心，你也可以用1到6数字来区别。
空心魔方图1.jpg


5、我打乱了，试图复原，注意，这个时候我仍然没有参照中心，尽管我已经用标签区别了中心。复原的结果是有两个块需要对换！这个时候实验终于达到了紧张的时刻，我查看了中心块的标签，白色面的中心是W，黄色面是Y，绿色面是O、橙色面是B、蓝色面是R、红色面是G！
空心魔方图3.jpg
答案揭晓了！4个中心块发生了错误！他们参与了一次4个中心块的轮换，我们都知道，在合法的状态变换中，是不存在一个簇内要求偶数个块轮换的。现在的情况是4个中心块要轮换、2个角块（或者棱块）要对换，这个状态合法吗？答：是合法的！那么我们再把标签撕掉呢？看起来合法吗？看起来不合法！正式大家津津乐道的“无法复原”状态！

我再做个解释，有人会问中心块是不能移动的，那我怎么说中心块要轮换或者对换呢。答：这里说的正确位置是相对周围的角块和棱块而言的，中心块相对周围的块需要换位，其实是周围的块的位置不正确。

6、之后我又试了一次，这次仍然有一对位移块（角块或棱块）需要对换，另外，中心块的状态是有3对需要对换，也就是说一共有4组对换，显然，也是合法状态。

7、然后我又试了几次，发现没有在颜色方向上的错误，这是不是可以这样解释：一旦定义了颜色方向的代号，计算各个簇的色向和，无论从哪个方向来看总是一样的，这是魔方的Identiy守恒性的表现。
本人有浅薄的盲拧能力，无乱从哪个视角计算色向和，总是不变的，那么计算偶环数呢？三阶魔方的状态变换定律说偶环数为奇数则为扰动簇，之后我发现总的偶环数为奇数是组装错误。也就是说，假使是一个实心魔方，处于某个混乱状态，我们不通过操作，仅仅通过观察和计算，就能判断这个魔方是否可以被复原，而且这种计算与我们从前面还是从后面观察魔方是没有任何关系的。但是放在空心魔方上非常奇怪，因为一个混乱的空心魔方，你能不通过操作，而仅仅通过直接计算，得出能否被复原吗？显然是不能的！讲到这里先让我脑子休息一下，自己有点晕了，呵呵……

好，行了，我继续了，我刚才在想这是为什么。因为空心魔方的复原其实是受中心块调制的，这个调制的过程是在复原过程中才能体现出来的，所以没办法一开始就认定是否能复原。

但是颜色的方向最后发现总是正确的，我这里说的正确是根据个人的初始定义的，也就是说从这个定义出发，在任何状态下计算魔方各簇的颜色方向和，是不变的！强吧！没错吧？

这样的话是否就可以得出结论：随机复原空心魔方的成功率是50%，只存在环的奇偶性的问题。
也就是每次不参照中心块，复原和不复原的机会是一半一半，再强调一下，这里的复原是参照每面的八个颜色而言的，不是参照中心块而言的。

这样的话引出下面一个问题就是如何成功复原空心魔方？
哈哈，我自己找了一个方法，自称为最烂的方法，但是是万能方法，不是说偶数个中心块轮换一次就扰动了一次吗？那我就转一下D或者u（一样的，汗），或者D’、u’都行的，记得转一下就行了，这样的话中间层的四个中心块不是轮换一次了吗？然后再参照底层重新来复原，记得，这个时候是从第二层开始复原的，复原下去你就发现最后能复原了。那么再来轮换一次呢？又不能复原了！（但是要保证参照的对象，比如我是剩下PLL不能完成，就是说要对换的位移块在顶层，因此我可以轮换中间四个中心块，保证可以从中间层开始做。）


讲到这里我想问题应该差不多了。

最后归纳一下几个结论：
1、
空心魔方在“外观”上不存在组装错误，即使你真的把它拆了重装，你也一定可以复原！（纠正：色向不一定，位置一定可以复原）
2、
空心魔方没有特别的复原方法，随机复原的前提下，成功率总是50%，或者说合法组状态的外观复原与非复原状态数五五开。与操作者的水平是无关的。
3、
最后可能剩两个唯一块要对换，能够通过一定的方法复原，需要中心块扰动的参与。为什么说是一定的方法，因为你如果重新打乱了再复原，那么成功率仍然是50%。至于到底用什么方法，那是后话了。
4、
空心魔方的主要价值在于观赏性（个人意见哦，不能说是结论，哈哈）

我是属于山寨版的，不敢擅闯理论区，也没具备专业的数学知识，只是参考了N阶变换定律之类的文章，如果前辈们感觉我哪里讲得不对，还望指正，谢谢！



小波 2009/2/9

[ 本帖最后由 小波 于 2009-2-9 21:26 编辑 ]

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作者: 小波    时间: 2009-2-9 16:49:19     标题: 回复 1# 的帖子

占一下，待修改。
忘了说，图是自己画的，大家凑合着看吧~~~~

图中，中心块的字母我是用透明胶把字母贴在中心块上的，就是代表了中心块的走向。
增加了第三张图，大家可以看一下，第一张图我是没有做标签，其实是第三张图的状态，和第二张比较一下，一对棱块要对换，还是看一下第三张图和第二张图的中间四个中心块的标签，发生了一次四个中心的轮换，这正是本文要讲的关键。


额。。。。。烟头大哥提醒了，随意组装的空心魔方在色向上可能无法翻正，这点疏忽了，纠正一下！



我得再纠正一下：不同的复原方法最后可能出现不同的情况，比如用角先法和桥式解法，最后不会出现特殊情况，这是因为这两个体系的最后一步都是与中心块一起换位的，也就是说，最后一步的中心块位置，本身还没有正确，于是当棱块和角块都正确了以后，中心块必定构成基态簇，不会出现特殊情况。


[ 本帖最后由 小波 于 2009-5-6 12:08 编辑 ]
作者: happyangel888    时间: 2009-2-9 16:54:26

嗯.研究的不错.用了心思,UPUP...............
我的空心正在玩.也是这个问题.
作者: 加贝    时间: 2009-2-9 16:55:56

关注了
作者: R'cube    时间: 2009-2-9 17:08:45

厉害。。。。支持下~~~
作者: 魔方世家008    时间: 2009-2-9 17:11:40

支持一下了
作者: liyonggogo2008    时间: 2009-2-9 17:14:52

LZ是高手,可惜我没耐心看完这个!
作者: splendidrex    时间: 2009-2-9 17:19:04

以前我也想过这问题，后来方法和你一样，换个中心再来，就ok
作者: 时空    时间: 2009-2-9 17:29:56

楼主的文章写的不错~~虽然我没看懂哈

PS To 4#：身为版主，请你自重，不要仅仅为了提高签名的曝光率而发这种对付人的帖子，花半小时时间细细品味一下楼主的文章，如果能看懂，就发表点自己的心得，看不懂，也可以发表点自己的疑问或者看法

如果你有心，请学习乌木前辈的百分之一
作者: icedragon    时间: 2009-2-9 17:56:12

好东西啊！
慢慢看 谢谢楼主！
作者: 知Shmily足    时间: 2009-2-9 18:14:47

空心有时候的确很难理解啊
作者: 魔方世家008    时间: 2009-2-9 18:15:20

空心的没有中心快，所以最后有可能有特殊情况
作者: 炀燚    时间: 2009-2-9 18:28:19

顶了~~
不太懂，我玩空心也经常出现这种问题
作者: tonylmd    时间: 2009-2-9 18:39:27

感谢lz的解释 虽然一部分看不懂 但也对空心有了新的认识！
看到lz所发的版块 想到一问
空心魔方应归属于哪类型的魔方呢？显然6轴是不存在的…
作者: 小波    时间: 2009-2-9 18:42:28     标题: 回复 14# 的帖子

是啊，非常有趣，我也在想，从结构上说没有轴，但是理论区讨论的更多的是数学方面的东西，就从转群上来说还是保留六轴。
作者: qazwsxpy    时间: 2009-2-9 18:46:20

空心五魔也会这样么？
作者: 大烟头    时间: 2009-2-9 19:19:19

空心三阶

两棱对换原理：中层转90度（也可称为“中层扰动”），成一个四棱环，经成三棱置换公式后成了两棱对换。

两角对换原理：两棱对换再经过表层的扰动，就成了两角对换。

-------------
空心三阶拆开后随意组装是不一定能还原的。

魔方的变化可分为位置变化与色向变化，这空心三阶随意组装，位置上是都可以复原，但色向上来说就不一定都可以复原了。
作者: 乌木    时间: 2009-2-9 22:06:35

虽然中心块看不出了，但是所有的变换规律没变。
空心魔方的所谓复原不复原，是只看角块、棱块状态的。用通常的复原方法，到接近尾声时，看似无法做下去了，但不等于无法复原空心魔方的角块、棱块（方法不少，此处略）。
从普通三阶复原态出发，保持角块、棱块框架不动，中心块构架（整体）变换，会有24种方式。但是可以转出的（即合法的）有8种六面换心，3种四面换心，1种0面换心（即复原态），共12态。（另外12态属于转不出来的非法态。）具体的24种花样各位可以自己排一下即知。那12种合法的换心态（再掩盖各中心块后）都可能是空心魔方复原后的“实际”情况。那12种非法的换心态都不可能是空心魔方的“实际”情况。

上面说的角块、棱块不动，动中心块组，相当于中心块组不动，角块、棱块框架整体动。
作者: pengw    时间: 2009-2-13 15:10:25

很久没来了，插一句
-----------------------------
空间心魔方扰动关系：
表层：A+M
中层：M
表层+中层：A+M+M=A
-----------------------
从上面可知，中层与表层都可以独立进行二元置换，所以你无法将位置装错,楼主想过空心魔方的状态计算问题否？除最最小步问题外的所有问题都可以用N阶定律解答，很佩服乌木长期战斗在第一线的耐心，并且希望这种耐心得到坚持。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-2-13 15:14 编辑 ]
作者: 乌木    时间: 2009-2-13 19:47:23     标题: 回复 18楼

我还是把“空心魔方”的“实际情况”画出来，直观一点。假设把一个空心魔方的六个中心块恢复原貌，那么，每次“复原”了的空心魔方的实际情况，就是下图打勾的12个情况之一。当这12个图的中心块全都同色时，12个图就简并为一个图－－就是空心魔方“复原”了。

下图打叉的12图是正确魔方转不出来的情况（或者说是错装态），当然也与空心魔方无关。

   中心块簇运动的情况－2.GIF

附件: 中心块簇运动的情况－2.GIF (2009-2-13 19:47:23, 46.17 KB) / 下载次数 83
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=Mzg1OTR8ZDExNTkzYTl8MTczMjY2NTU3NnwwfDA%3D
作者: pengw    时间: 2009-2-14 05:16:56

其实不用这么费劲地画图，用扰动关系来解释是如此地简洁明了。
作者: 乌木    时间: 2009-2-14 16:03:18

20楼给出了空心魔方的角块、棱块复原时，12种中心块的实情，其中有一种中心块处于复原态。
下图则是空心魔方的角块、棱块没复原时，比如红白棱块和红绿棱块互换来着，所有可能的中心块的实情。可以看出，没有一种情况中心块是处于复原态的。 空心魔方一种棱块态的“实情”.JPG

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-14 16:07 编辑 ]

附件: 空心魔方一种棱块态的“实情”.JPG (2009-2-14 16:03:18, 99.2 KB) / 下载次数 81
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=Mzg2OTd8ZDEwMTdhYjN8MTczMjY2NTU3NnwwfDA%3D
作者: o嗬飽彈o    时间: 2009-2-14 16:08:57

支持下~
不错的文章~理论就等高手来实践了
作者: 乌木    时间: 2009-2-14 19:30:22     标题: 回复 22# 的帖子

22楼的12种情况，都只要再让红白、红绿两个棱块互换，同时再让中心块组整体朝任何方向转过一个90度，就达到空心魔方的“复原态”了，即达到20楼那12个打勾态之一。
具体方法不少，比如，有人贴出过的：M' U M U2 M' U2 M' U M U M2 U B2 M B2 M' 。

通常三阶魔方不可能单单互换两个棱块，是由于中心块组不许动。动了的话看得出，且破坏了中心块组的原状；空心魔方就没有这个限制，而且中心块组动过之后还看不出，这就给人一种神秘感。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-14 20:05 编辑 ]
作者: juventus66    时间: 2009-2-14 19:34:02

支持了,学习
作者: dorothea    时间: 2009-2-14 20:15:17

LZ强人!收藏了,慢慢研究
作者: 大大    时间: 2009-2-14 21:20:45

从技术贴变成广告贴了，一定买一个空心的
作者: pengw    时间: 2009-2-15 09:54:58

讨论空心魔方时，根本不用理会中心块，仅仅从基本转动入手就足够了
作者: zhy3729    时间: 2009-2-15 15:33:43

很好很好！　遇到情况换个面就行！！
作者: 乌木    时间: 2009-2-15 16:36:37

原帖由 zhy3729 于 2009-2-15 15:33 发表
很好很好！　遇到情况换个面就行！！


这就失去玩空心魔方的乐趣了。此外，正式的空心魔方并无中心块的盖子可换。

我上面列出空心魔方到后来单单要求互换两棱这种情况时，原有的中心块或虚拟的中心块的所有12种实际状态，不是希望你用换中心块盖子的方法做下去，而是提示你设想改变一下复原过程所用的参照物状态。比如，把空心魔方已经复原了的底层转过90度，把新方位的底层作为参照物，从第二层开始重新复原下去。或者，摸索摸索别的复原方法。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-15 16:46 编辑 ]
作者: 魔鱼儿    时间: 2009-2-15 19:35:24

楼主很厉害,顶你,空心魔方奇偶校换是有点麻烦,其它的都和标准三阶一样.
作者: xpboy    时间: 2009-2-17 17:17:32

空心方块么……会玩四阶的就知道是咋回事了，呵呵
作者: 乌木    时间: 2009-2-17 17:40:20

原帖由 xpboy 于 2009-2-17 17:17 发表
空心方块么……会玩四阶的就知道是咋回事了，呵呵


愿闻其详。
作者: Xwam    时间: 2009-2-19 14:05:24

支持了，学习一下。
作者: juventus66    时间: 2009-2-19 14:08:44

收藏了
作者: ouicq    时间: 2009-4-9 22:00:40

呵呵 LZ很da
作者: sakjdfjsak    时间: 2009-4-9 22:30:13

我在调我的封三的时候也把中心盖都去掉了转过几次，也发现了你的问题，到最后有两块棱块无法复原，但是我只是觉得奇怪没有多想，还是楼主有心啊，非把这个问题研究明白，佩服楼主的钻研精神。
作者: 519134510    时间: 2009-4-10 13:26:47

貌似没看懂..............
中心块扰动怎么会影响到............
作者: sunnybird0996    时间: 2009-4-10 13:31:27

遇到了 同样的问题 现在可以解决了  谢谢了
作者: Cielo    时间: 2009-4-10 13:43:14

原帖由 pengw 于 2009-2-13 15:10 发表
很久没来了，插一句
-----------------------------
空间心魔方扰动关系：
表层：A+M
中层：M
表层+中层：A+M+M=A
-----------------------
从上面可知，中层与表层都可以独立进行二元置换，所以你无法将位置装错,楼主想过空心魔方的状态计算问题否？除最最小步问题外的所有问题都可以用N阶定律解答，很佩服乌木长期战斗在第一线的耐心，并且希望这种耐心得到坚持。


理论区又冷清了啊
稍微解释一下忍大师的扰动关系：
A 表示角块簇，M 表示棱块簇，
表层转动90°，A 和 M 各发生一次四轮换（是奇置换），所以表层扰动关系是 A+M（A 中两块对换必伴随 M 中两块对换）；
中层转动90°，只有 M 发生一次四轮换（是奇置换），所以中层扰动关系是 M；

“独立二元置换”（也就是两块对换）的根源在于上面第二条即 M 可以单独出现扰动（两块对换）！
作者: 乌木    时间: 2009-4-10 16:04:53

原帖由 519134510 于 2009-4-10 13:26 发表
貌似没看懂..............
中心块扰动怎么会影响到............


此事确实蛮有趣，也不大好理解。我是只会粗浅说说，不一定对。
其实，六个中心块的相对位置关系是不变的，不妨仍旧用中心块为参照，固定不动。这样，那种“换心”图案，或者空心魔方，都可以看作中心块组不动而角块、棱块框架在整体运动。如果一定要这框架恢复初态，它必须往任何方向旋滚累计（从初态算起）偶数次90度；如果仅转奇数次90度，这框架一定停留在有两个块（无论两角块还是两棱块）与初态比较为交换的状态，确切说是角块（或棱块）有奇数个偶循环，不一定只是一个二置换。比如，在空心魔方中常见的仅有两个棱块要交换现象。现象的实质是，从原先的“复原态”出发，这角块、棱块框架相对于中心块组累计只转了奇数次90度。但是，你是从某一打乱态出发转的，不知道原先“复原”的框架至此已经转过多少次，无妨，到尾声时就清楚了。
当然，具体做法是不可能让角块、棱块框架整体转的，这只是两个态之间比较下来的一种等效说法而已。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-10 22:56 编辑 ]
作者: 乌木    时间: 2009-4-10 16:25:34     标题: 回复 40# 的帖子

根源固然与“第二条即 M 可以单独出现扰动”有关，也离不开与“表层：A+M”有关，否则，哪来“表层+中层：A+M+M=A”呢？两者缺一不可。比如，空心魔方中也可以出现单单两个角块要互换的情况。
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我这样看法妥否？
作者: kitor    时间: 2009-4-28 08:54:14

原帖由 小波 于 2009-2-9 16:48 发表
但是放在空心魔方上非常奇怪，因为一个混乱的空心魔方，你能不通过操作，而仅仅通过直接计算，得出能否被复原吗？显然是不能的！

刚看到小波的此文 其本赞同 但我引用的这句话 偶不认同
我可以不通过操作 就可以判断 用的也是盲拧三阶的技巧 可以看看我的此贴 预判空心魔方特殊情况及处理技巧 http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=26933
作者: 乌木    时间: 2009-4-28 09:26:46

对。凡是一个正确魔方，无论普通的，还是空心的，只要是一步步转出来的状态，哪有不可复原的道理？还用判断？只有对不知其是否被重装过的魔方，才需要判断－－可以一开始就判断，也可以复原到接近尾声时判断。这一开始的判断又怎么会不可能呢？！据其位置循环情况和各簇色向和情况即可一开始就判断。对于空心魔方而言，位置情况不会有问题，倒是色向和要判断判断的。

空心魔方没了中心块，判断时不妨找个角块（比如玩家习惯的1号角块）作参照，整个魔方旋滚得该角块处于玩家习惯的位置和色向。角块、棱块两个簇都有奇数个偶置换，则复原到尾声时不会有两块交换要求；一簇有奇数个偶置换，另一簇有偶数个偶置换，则以后会有两块交换要求（但还是可以位置复原的）。色向和则角块、棱块相互无制约，哪簇有问题都会使魔方不可复原。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-28 10:46 编辑 ]
作者: kitor    时间: 2009-4-28 09:52:37

嗯 乌木大师 说得有理
空心的组装错误只可能是色向错误
三阶的才可能色向 或位置错误
都可以用盲拧的技巧判断是否组装错误
作者: shifujun    时间: 2009-4-28 20:46:46

偶都说了好几次了，空心魔方就不应该用十字起手的方法还原。角先，桥式都能直接搞定！没有什么返工。
作者: 乌木    时间: 2009-4-28 23:23:24     标题: 回复 46# 的帖子

无所谓应该不应该的，返工就返工好了。能用别的、保证无返工的套路最好，否则用用老套路也罢。

如果把空心魔方的某一仅有两个块需要交换的状态就作为初态给出，不知能否也用无返工的方法“直接搞定”它？
作者: shifujun    时间: 2009-4-29 06:59:35

原帖由 乌木 于 2009-4-28 23:23 发表
无所谓应该不应该的，返工就返工好了。能用别的、保证无返工的套路最好，否则用用老套路也罢。
如果把空心魔方的某一仅有两个块需要交换的状态就作为初态给出，不知能否也用无返工的方法“直接搞定”它？

当然可以咯，这属于角先法的最后两步，如果以这个为起点这就是把前面步骤全跳过的超级LC！
作者: shifujun    时间: 2009-4-29 07:38:41

这主要是因为桥式和角先都是最后一步还原四个中心块.而层先是第一步十字就确定了中心位置.
作者: kexin_xiao    时间: 2009-5-10 16:32:11

倒是"无心"却"有心"啊
作者: 晖色的天空    时间: 2009-5-14 10:51:59

昨天因为想要紧紧螺丝，把中心块的盖子都拆了，
随意的拧了拧，试松紧，却发现拧不回去了。。。
怎么都想不到为什么。。。

这帖子看的，受益匪浅啊。。。
我在研究研究，呃。。。
作者: pengw    时间: 2009-6-26 08:42:43

谈论空心魔方，如同在雾中谈论飞机的航向，怎么说也是对的，因为没有参照。要想知道自已在说什么，至少了明白二个基本概念：

1。什么叫魔方的一个状态
2。何为参照

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离开了以上二点，跟盲人说象没有区别。
作者: 魔范生    时间: 2009-6-29 23:01:32

顶你了。支持一下你。加油啊。有好的想法继续在吧里和我们分享啊
作者: forecastyou    时间: 2009-7-31 14:34:25

刚刚入手空心 前来学习一下 真的很晦涩哦
作者: LYQ    时间: 2010-1-5 17:15:29

好东西,说得很好,顶了!!
作者: 美丽的邂逅    时间: 2011-4-22 20:09:00

按你的方法，终于弄明白原理了，谢谢。
作者: 黑白子    时间: 2021-7-23 09:33:30

乌木 发表于 2009-2-13 19:47
我还是把“空心魔方”的“实际情况”画出来，直观一点。假设把一个空心魔方的六个中心块恢复原貌，那么，每 ...

打叉的12个图，正好对应空心魔方的2角互换或2棱互换。
作者: xxmlt    时间: 2021-7-25 14:29:39

推荐一下B站一个UP主“震我一下魔方宅”的空心魔方教程，就有那个情况的教程（不是广告）



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