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标题: 请教：如何证明三阶魔方不可能发生2对换？ [打印本页]

作者: lsx 时间: 2009-4-12 17:47:09 标题: 请教：如何证明三阶魔方不可能发生2对换？

请教：如何证明三阶魔方不可能发生2对换？

首先，我可以告诉大家，我的水平虽说在这里不算怎么样（sub31），但也应该可以说脱离了入门阶段了，所以可以

讲得不用那么详细。

请问应如何证明三阶魔方在初始状态按其玩法玩的条件下不可能出现仅一对块发生对换？（下面均讨论3阶）
类似的帖子我看到过了（http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3386），其中对这个问题的回答的大概意思

是“这是显然的，熟悉魔方的人都有这个常识”，但我不满意这个答案，虽然我知道因为某种原因这种情况，而且

我还知道如果一个打乱的三阶魔方经过偶数次对换后（即使把中心块想成可以自由移动的仍然成立）能够复原的话

，那么它就能复原（所有位置），反之不能，而且我还知道对于魔方的任何基本操作都可以等效为偶数次对换（包

括Rrx什么的只转一下的步骤），我认为要推出魔方不可能发生奇数次对换的原因是“魔方的任何基本操作都可以等

效为偶数次对换”，但我不知道如何证明。

我在百度魔方吧发过类似的帖子（http://tieba.baidu.com/f?kz=561333972），有人向我作出以下回答，如果您也

想作出这样的回答，那么我先回复：

“作为公设的话还是有道理的..毕竟是显然的.”
“这条定理并不是显然正确的，像六个中心块不会动，角不可能到棱的位置上才是“显然”的，就像“过直线外一

点有且只能作一条平行线”，这就不是正确的，证明一件事可行，做出来就可以了，证明一件事不可行，要证明才

可以啊。”

“从正确状态下出发.无论怎么转。魔方的操作都是可逆的。所以…………”
“虽然的确没有转出过两对换，但是，在证明它之前就不能说它“就是”不可以，比如SQ1和高阶魔方，我会之前遇

到了两对换，我就认为这是因为魔方被人拆过，因为当时有三阶的基础，可后来我才发现不是（其实我觉的有向奇

数高阶不可以两对换），就是说在完整证明之前，逻辑可能（拆了后装上）的都不能说它一定转不出来。这么说吧

，费马大定理，你能说因为找不到解就说它不可能吗？这样吧，退一步，我看看您能否详细证明三阶魔方在初始状

态按其玩法玩的条件下不可能出现仅一角或一棱角不对？”
“跷跷板原理只说明了按正常方式打乱的魔方一定能还原，没有说明按正常方式打乱的魔方不可能出现不符合翘翘

板原理的情景。”
“跷跷板原理详细阐述了魔方的解法，解法的完备性和魔法的组合数的计算过程，可是并没有证明跷跷板原理的正

确啊，MS只是把它作为一个公理来运用的，而我想问的正是如何证明跷跷板原理的正确啊，而不是问由跷跷板原理

得出的推论有哪些啊。”

回帖前请看帖，谢谢。

作者: lsx 时间: 2009-4-12 17:48:12

如果这个问题能解决，我想问有向奇数高阶魔方的组合数怎么算。谢谢

作者: gejunji 时间: 2009-4-12 17:55:19

记得在高中的时候，老师教过一个反证法，你假设能换，在你论证的过程中出现矛盾，那假设就不成立了。

作者: 四色 时间: 2009-4-12 17:58:37

反证吧,一般看着很复杂的问题都可以反证解决

作者: lsx 时间: 2009-4-12 18:05:16

怎么反证？怎么产生矛盾？

作者: 爱红入魔 时间: 2009-4-12 18:13:58

知识有限啊　等待高手解答．．．

作者: 爱红入魔 时间: 2009-4-12 18:17:23

任意状态把魔方两个棱抠下来互换位置　然后　还原　不能还原推出矛盾　这算不算反正？
我瞎说的

我一直把这个当成一个公理　而不是定理

作者: ↖____約啶。 时间: 2009-4-12 18:30:05

这个``不是很清楚哇````

作者: crazy88me 时间: 2009-4-12 18:36:29

等乌木老师来解答吧

作者: crazy88me 时间: 2009-4-12 18:37:52

可不可以这样说你转楞块的时候总是伴随着角块的转动就算你把楞块弄好了但是角块还是处于没又还原的状态呀

作者: 小波 时间: 2009-4-12 18:42:47 标题: 回复 7# 的帖子

你还不如说把两个块对调，然后输入状态，计算机输出无解算了。

作者: 汕头=老沙 时间: 2009-4-12 18:47:22

我是来学习的/.//////

作者: robester 时间: 2009-4-12 19:51:20

把魔方的角块位置按照盲拧的记忆编号为1 2 3 4 5 6 7 8，
把魔方的棱块位置按照盲拧的记忆编号为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
拿到一个打乱的魔方，
看角块1号位上是几号角块，写下一个数字，看2号位上是几号角块，写下一个数字，……如此写下一个8位的数字排列
看棱块1号位上是几号棱块，写下一个数字，看2号位上是几号棱块，写下一个数字，……如此写下一个12位的数字排列
（注：10，11，12算一个数字）
求证：这两个数字排列的奇偶性是一样的。

证明如下：
假设魔方为初始状态（只是为了解释方便而已），
则角块排列为1 2 3 4 5 6 7 8为偶排列，棱块排列为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12也为偶排列
固定魔方的坐标系不动，然后魔方只有6个转动的元素，即UDRLFB
U转使角块排列由12345678变为41235678为奇排列，棱块由123456789101112变为412356789101112也为奇排列
D转使角块排列由12345678变为12348567为奇排列，棱块由123456789101112变为123456781291011也为奇排列
R转使角块排列由12345678变为12485637为奇排列，棱块由123456789101112变为1238564 12 9 10 11 7也为奇排列
L转使角块排列由12345678变为26341578为奇排列，棱块由123456789101112变为16342 10 7 8 9 5 11 12也为奇排列
F转使角块排列由12345678变为52318674为奇排列，棱块由123456789101112变为523496718 10 11 12也为奇排列
B转使角块排列由12345678变为13745268为奇排列，棱块由123456789101112变为127453 11 8 9 10 6 12也为奇排列

即单次90度转同时改变了两个排列的奇偶性，即角块和棱块这两个排列要么同时为奇排列，要么同时为偶排列。

而单独交换两个角块（或者棱块）只改变了角块（棱块）排列的奇偶性，而棱块（角块）的奇偶性没变，所以单独交换两个角块（棱块）是不可能实现的

作者: robester 时间: 2009-4-12 19:52:55

我用的初等数学的方法，应该有高等数学的的方法解的，比如线代数论等

何谓排列的奇偶性
一个数字排列的逆序的个数，为奇数个，则排列为奇排列，为偶数个，则为偶排列
比如
12345678中的后面每个数都比前面大，即没有逆序，则这个排列为偶排列
21356478中的后面和前面比，1比2小，4比5小，4比6小，即逆序有21，54，64共三个，则这个排列为奇排列
21345678中的逆序有21共一个，则这个排列为奇排列
31265487中的逆序有31，32，65，64，54，87共六个，则这个排列为偶排列

[ 本帖最后由 robester 于 2009-4-12 20:00 编辑 ]

作者: kexin_xiao 时间: 2009-4-13 13:33:28

坐地上学习一下

作者: Cielo 时间: 2009-4-13 14:32:46

这个问题都被问了好多遍了

13、14楼的回答很好！

作者: lsx 时间: 2009-4-26 16:22:36

7楼：这不是反证，而且也不是试验论证，我在一楼说了：“费马大定理，你能说因为找不到解就说它不可能吗？”魔方，你能因为说“我转了，转了半天也没转回去”，于是就得出结论：“这个魔方不可复原”吗？
谢谢

作者: lsx 时间: 2009-4-26 16:47:22

13，14楼：谢谢你说了这么详细，但是首先，我有一定的魔方基础，可以不用这么详细（我没说写得详细这不好哈~）；其次，你的想法（或者说这篇文字的原创者的）我也想过，但是我认为这论证的不够，因为，比如说U吧，它会使角簇排列变成奇排列，因为，角簇可以（请注意这个用词）用奇数次置换后复原，于是我们称之为奇排列，可是，如何证明奇数次置换不可以（请注意这个用词）用偶数次置换复原？
另外，我知道如果一个魔方经过偶数次置换后可以复原（对于奇数阶魔方，而且可以推广到中心块移动，比如M，这样就可以不必以中心轴为坐标了），那么它就是可以复原的，但是我不知道如何证明可以用奇数次置换还原的魔方（如果阶数大于3，那么中心块要是有向的）不可以用偶数次置换还原？
谢谢

作者: lsx 时间: 2009-4-26 16:49:18

于是证题可以简化为：『有n个元素，各有自己的位置，试证明经过奇数次置换后不可能恢复到初始状态』

作者: smok 时间: 2009-4-26 19:58:25

逆序对方法只能证明一个簇奇偶变换问题，关于三阶为什么不能发生独立二棱对换，上面恐怕连思路都错得十万八千里，这是扰动问题，只要明白扰动关系是如何构成，你就会明白为什么不能发生二棱对换，这样讨论的陈年老贴实在太多

作者: 乌木 时间: 2009-4-27 00:36:41

一个三阶纯色魔方要交换两个角块（另6个角块不动位置）完全可以，但一定伴生棱块有奇数个（位置）偶循环。由于是纯色，同时也一定伴有的中心块的变化（奇数个中心块转过90度）显示不出。
所以，探讨本帖题目时，不能仅仅看同一类块（即你说的“有n个元素，各有自己的位置…………”），必须三类不同性质的块（角块、棱块和中心块）同时考察。除非只要求（比如）三个角块轮换一下，并保持棱块和中心块不变，那就可以只看角块变化。但这不是本帖要探讨的题目了。

作者: Cielo 时间: 2009-4-27 12:55:27

回楼上乌木先生：
是可以把棱、角块一起考虑的，此时表层转动90°意味着发生了两个不相交的 4-轮换，这是一个偶置换，所以块位置的状态只可能是偶排列（棱角一起考虑），
而仅仅只有两块对换是奇排列，所以是不可能出现的啦！

答楼主问：

原帖由 lsx 于 2009-4-26 16:49 发表
于是证题可以简化为：『有n个元素，各有自己的位置，试证明经过奇数次置换后不可能恢复到初始状态』

你知道奇排列和偶排列的定义吗？（就是利用逆序对的个数啊）

从初始状态出发，经过奇数次置换（我估计楼主说的置换就是对换吧）会变成奇排列，而初始状态是偶排列，所以不可能恢复了。

作者: Atato 时间: 2009-5-2 16:59:37

LZ解决问题连公理都没有.如何解决问题..

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