魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: “孟氏疑团”初步解释 [打印本页]

作者: 乌木 时间: 2010-2-25 17:52:21 标题: “孟氏疑团”初步解释

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=48081&extra=&page=2 的18楼的图片中，提出了“孟氏疑团”：
“为何三阶魔方中无法实现的两邻面中心子互换能在四阶魔方中轻松实现？（四阶中连在一起的四同色一面子集团等预一个大中心子）我百思不得其解。”即：

我试试做个初步解释。

三阶的中心块固定于轴端，无法交换，只能六心整体运动，比如六面换心花样等等。四阶的心块不同，认住某一个心块的话，它可以脱离同一组另三个心块而跑到任一心块位置上去。这就有办法单单交换两个邻面的心块组了。

再进一步考虑，在屏幕上的虚拟三阶，六个中心块也不能交换，也是只能整体运动，可见与有无转轴无关，而与魔方的基本转动引起变化的性质有关。

下面的演示我用的方法还是笨法，不会优化，只求实现这种交换而已。
      [java4=300,320]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=scrpt](MR U' ML' U MR' U' ML U) (MR U ML' U' MR' U ML U') (F' ML' U MR U' ML U MR' U' ) (F' ML' U' MR U ML U' MR' U) F2 [/param]
[/java4]

作者: 野子 时间: 2010-2-25 18:12:47

乌木老师又在钻研魔方理论了虽然看不懂但是支持您

作者: zhsyt 时间: 2010-2-25 18:25:06

你也发现孟氏谜团了啊！！哈哈……

作者: Paracel_007 时间: 2010-2-25 18:27:43

四阶的“心块”只是五阶的面块，移动是自由的，真正的心块被隐藏了起来

作者: shifujun 时间: 2010-2-25 18:33:03

我这么说，六轴魔方，偶数阶根本没有中心块，我认为中心块必须在轴上，不能把四阶的四个方格看做一个中心块，四阶的中心块应该就是五阶的中心块，在四阶上表现为隐藏的。

作者: raka 时间: 2010-2-25 19:06:29

弄了半天，以为乌木老师提出什么新命题……
这个“疑团”的提出似乎作者本身知其然而不知其所以然啊

作者: 乌木 时间: 2010-2-25 19:14:53 标题: 回复 5# 的帖子

正是。如果硬要把四阶的“四个心块组”看作三阶的一个中心块，则它们的变化也只能和三阶的中心块变化一样。实际上，四阶的心块还有三阶所没有的性质和变化。除了上面演示的位置交换性质外，四阶的单个心块没有三阶中心块的就地自转本领，在全色四阶魔方中，很容易看到这一点－－认住一个心块，要它转向，就一定得使它挪挪位置。

作者: Paracel_007 时间: 2010-2-25 19:21:25

不能单个转向很好解释，四阶的结构已经限定住了。
一个结构上不可能的状态当然无法实现

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-2-25 19:35:37

我个人认为本质的原因就是，奇数阶魔方的个面中心块在转动任何面的时候都保持相对位置不变性，而偶数阶的任何块都不具有相对位置不变性

作者: 乌木 时间: 2010-2-25 19:44:14 标题: 回复 8# 的帖子

屏幕上的虚拟全色四阶谈不上内部结构，但其转动规律和实物一样，同样表现出和实物一样的种种特性。看来，重要的是一个系统的变换方式。对吗？
反之，屏幕上无法实现单单翻一个角块的色向，而在实物魔方上，有人反映过，结构太松动的话，居然可以单单一个角块就地扭转变向。这算不算从另一方面说明重要的是转动方式。

作者: Paracel_007 时间: 2010-2-25 19:53:22 标题: 回复10楼

这就好比一条题目，从一个思路难以做出来时，换个思路却非常容易
单转“心块”不行，用实物很好解释，用虚拟的就难以解释清楚
单翻角，用实物无法否定掉，那么就可以从转动方式的角度慢慢阐述

作者: Paracel_007 时间: 2010-2-25 19:55:30

利用东贤二阶的结构很容易说明单翻角也是不行的~再想想发现这么说不对。。。

[ 本帖最后由 Paracel_007 于 2010-2-25 20:21 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2010-2-25 20:29:14

“（四阶就地）单转‘心块’不行，用实物很好解释，用虚拟的就难以解释清楚”，
好像虚拟的全色四阶也蛮容易解释：（比如）要F面的四个心块中的左上方那个心块变向，总要转动一些层的。如果在这个心块上标记一个向上的箭头，作F、F' 或F2的话，它移位并变向了，但是继续转F层的话，只要回到原位，其指向恢复原状！
如果转左边第二层（ML等动作），现象一样！
如果转上面第二层（MU等），它移位的同时，箭头指向倒是始终不变，所以回到原位时，其方向也保持原向！
转别的层与认定的这个心块无关。
所以四阶的单个心块不能就地变向。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-2-25 20:47:21

对于四阶心块不能原地转向的问题也可以认为是对于任何心块的位置与方向这两个参数，如果改变其中一个，另一个就做相应的变化，使得从理论上就不存在在方向不变的情况下改变位置以及在位置不变的情况下改变方向的可能

作者: 乌木 时间: 2010-2-25 20:52:09

三阶不能单翻一个角块，则N阶（包括二阶）也一样。
问题是三阶如何解释这一点？我只会通过转转魔方来说明，不像正规的证明。且听听各位如何论述。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-2-25 21:12:40 标题: 回复 15# 的帖子

解释是这样的：首先定义对魔方的转动所有方式，包括，整体转动，RULBDF各面转动。然后定义每个角块的色色相，不妨假设白黄朝上下为0，顺时针转动后朝上下为1，逆时针转动后朝上下为2，则对于任何对魔方的转动过程中可以证明，所有数字总和除以3的余数值为定值，于是由于还原状态该值为0，故任何状态该不变量都是0.于是就不可能在常规的转动过程中发生角块原地转动的情况

作者: Paracel_007 时间: 2010-2-25 21:48:07

“不妨假设”那句什么意思？半天没想明白…

作者: 乌木 时间: 2010-2-25 21:55:58

我的认识是这样的：三阶魔方角块的色向是相对于参照物中心块组而言的，所以要排除中层转和魔方整体转，即固定中心块组。偶阶魔方不妨也这样－－排除内层转和魔方整体转，也只考虑表层转，让每一面的（N－2）×（N－2）个心块整个担当三阶的一个中心块的参照作用。
这样，对角块色向有无影响的只有表层转了。
U、U'、U2、D、D'、D2、R2、L2、F2、B2 不改变角块的色向（角块的顶、底色色片向上或向下）；
R、R'、L、L'、F、F'、B、B' 会改变涉及的四个角块的色向（角块的顶、底色色片不再向上或向下），且一定是两顺两逆，即每一转总是成双成对改角块色向的，每一转不可能成单数改变角块色向。
但18种表层转组合起来，除了可以使偶数个角块（一半顺转另一半逆转）改变色向外，也可以使三个、五个或七个角块改向，其中的三顺或三逆只是两顺两逆发生于三个角块身上而已，即有一个角块连着同向转了两次，结果造成三顺或三逆。
总之，转不出单单一个角块变向的状态。

[ 本帖最后由乌木于 2010-2-25 22:12 编辑 ]

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-2-25 22:55:15

回楼上上，我那个不妨假设。。其实就是定义的意思。。然后回乌木前辈。。三阶魔方即使整体转动仍然是不改变角块朝向的，说白了就是对于任何定义的参考系，哪怕是定义某个角块的固定方向，只考虑R，r，F，f等的转动，整个角块的方向不变量仍然不会有任何变化。这点还是很容易证明的。所以对于更高偶数阶的魔方也不需要定义广义中心

作者: Paracel_007 时间: 2010-2-25 23:09:20

我问的是后面那三句…不过现在明白了。。。
这倒像是个组合问题

作者: 乌木 时间: 2010-2-25 23:33:20 标题: 回复 19# 的帖子

噢，对，同一变化的性质，不因观察的参照物改变而改变，对吧？比如，相对于魔方的周围环境而言，魔方作y、y'、y2、x2、z2 旋转时，8个角块色向不变；别的整体运动，8个角块改变色向，但总是成双变化，一半顺一半逆。和表层转组合后，也不会发生单单一个角块变向。

[ 本帖最后由乌木于 2010-2-25 23:38 编辑 ]

作者: 夜雨听风 时间: 2010-2-25 23:45:35

延伸好多啊！

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-2-26 14:48:43 标题: 回复 21# 的帖子

恩，就是这个意思，当然这是对应于色相的，但是对应于位置的变换，就如仅交换两个角块的位置的话再整体转动的时候中心块也是参与变换的，这也就是为什么空心魔方会出现位置错误的原因，正是因为原来对应于三阶魔方的中心块的变换在空心魔方中无法表达，导致位置不变量不再成立（该不变量中是含有中心块的成分的）

作者: 柯哀之恋 时间: 2018-9-8 13:33:01

乌木发表于 2010-2-25 19:14
正是。如果硬要把四阶的“四个心块组”看作三阶的一个中心块，则它们的变化也只能和三阶的中心块变化一样。 ...

首先有两个问题，为什么叫“孟氏疑团”，1楼的链接已经失效，被删了，具体讨论的是什么，不得而知

还有7楼这句话感觉有问题，
您说“四阶的心块还有三阶所没有的性质和变化”，为什么后面说“四阶的单个心块没有三阶中心块的就地自转本领”，这句话是不是反了，应该是“三阶的心块还有四阶所没有的性质和变化”，还是我理解错了，四阶心块还有别的什么性质

作者: vip2018 时间: 2018-9-8 14:04:11

因为高端，所以顶

作者: 乌木 时间: 2018-9-8 16:44:53

柯哀之恋发表于 2018-9-8 13:33
首先有两个问题，为什么叫“孟氏疑团”，1楼的链接已经失效，被删了，具体讨论的是什么，不得而知

还有 ...

关于“孟氏疑团”，见《2010.2.27河南省魔方爱好者（大河报社举办）比赛》
http://bbs.mf8-china.com/forum.p ... 677&fromuid=449

关于“‘四阶的心块还有三阶所没有的性质和变化’，为什么后面说‘四阶的单个心块没有三阶中心块的就地自转本领’，这句话是不是反了？”

比如，四阶心块可以独立实现三个（单个）心块的三轮换，三阶心块没有这类变化，例如：
[KBMFjava=450,400]
[param=MFlength]4[/param]
[param=MFwidth]4[/param]
[param=MFheight]4[/param]
[param=Speed]10[/param]
[param=Script]12U;2L';U';2L;2U';2L';U;2L;U';[/param]
[param=diraction]Y[/param]
[param=butbgcolor]99d658[/param]
[param=bgcolor]f3a0e2[/param]
[/KBMFjava]

至于“四阶的单个心块没有三阶中心块的就地自转本领”，三阶心块可以独立自转180°；任意两个可以一顺一逆独立自转90°。
四阶心块就没有这类变化，认住一个具有方向性的单个心块，它可以跑到24个心块位置的任一个位置，但在每个位置上，它的方向是确定的。它是不可能独立原地自转的。

作者: 柯哀之恋 时间: 2018-9-8 17:14:14

乌木发表于 2018-9-8 16:44
关于“孟氏疑团”，见《2010.2.27河南省魔方爱好者（大河报社举办）比赛》
http://bbs.mf8-china.com/fo ...

明白了，您说得那话没错

作者: 乌木 时间: 2018-9-8 20:56:13

本帖最后由乌木于 2018-9-8 21:03 编辑

柯哀之恋发表于 2018-9-8 17:14
明白了，您说得那话没错

顺便再介绍一下，五阶的六个中心块性质和三阶中心块的一样，五阶的其余心块分两类：直心块和斜心块，各24个，两类心块互相不可能串门的，性质分别和四阶心块一样。
更高阶的心块性质分别同四阶心块和五阶心块，只是分类更多，但每一类都是24个，例如：五、六、七、九阶的分类情况是：
五阶簇.png

九阶心块的中文名称或可修改一下，主要看图中的相同或不同字母数字标记。

附件: 九阶块的分簇.png (2018-9-8 20:53:24, 191.4 KB) / 下载次数 58
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjY2MDQ3fGViZjk1ODNkfDE3NjI2NzAyNTR8MHww

附件: 七阶心块分簇.png (2018-9-8 20:52:26, 3.22 KB) / 下载次数 72
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjY2MDQ2fDlhYTNlNjY1fDE3NjI2NzAyNTR8MHww

附件: 六阶簇.png (2018-9-8 20:51:05, 67.71 KB) / 下载次数 62
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjY2MDQ1fGFhNzU4ZmJhfDE3NjI2NzAyNTR8MHww

附件: 五阶簇.png (2018-9-8 20:50:19, 1.71 KB) / 下载次数 69
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjY2MDQ0fGM4ZDE1YTdlfDE3NjI2NzAyNTR8MHww

作者: 柯哀之恋 时间: 2018-9-8 21:09:38

乌木发表于 2018-9-8 20:56
顺便再介绍一下，五阶的六个中心块性质和三阶中心块的一样，五阶的其余心块分两类：直心块和斜心块，各24 ...

这个我明白，
我这些天看了不少高阶的帖子，很多帖子都有您的一些这方面的内容，包括偶数阶各种心块、棱块性质，例如四阶一对棱块互换，在同簇互换位置不翻色，在不同簇互换位置要翻色（是这么表述的吧）等等之类的
真得很感谢您，我在学习魔方解法的同时，理解一些理论也是很有必要的
话说您的这些图画的挺好看的，花花绿绿的，以前没看过这种图，是现画的吗

作者: jjuudydy 时间: 2018-9-8 21:28:11

其实我觉得从另一个角度出发，如果考虑魔方的转动对魔方块的位置影响就可以很轻松解决这个问题

作者: 乌木 时间: 2018-9-9 00:03:53

本帖最后由乌木于 2018-9-9 00:10 编辑

柯哀之恋发表于 2018-9-8 21:09
这个我明白，
我这些天看了不少高阶的帖子，很多帖子都有您的一些这方面的内容，包括偶数阶各种心块、棱 ...

以四阶的24个棱块来说，整个是一个簇的，只不过对于某个被认住的单个棱块来说，它在12个位置上是正向的话，在另12个位置上只能为反向。具体分别哪12个位置，可以实际转转魔方看出。
比如，对某个单个棱块做一下标记，它在24个位置上周游时，在每一处的方向如下图所示：
四阶棱块换位时的色向变化.JPG

有些画是以前在“画图”中画的，保存着而已。

附件: 四阶棱块换位时的色向变化.JPG (2018-9-9 00:09:44, 29.28 KB) / 下载次数 80
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjY2MDQ4fDdkOTJmYWI0fDE3NjI2NzAyNTR8MHww

作者: 柯哀之恋 时间: 2018-9-9 00:18:24

明白您说得，可能是我有些表达不清楚，不专业，这个图不久之前都看到过，知道这个图的意思

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)