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标题: 3阶纯色魔方的anti-slice subgroup有多少个元素？ [打印本页]

作者: superflip 时间: 2010-4-19 20:48:04 标题: 3阶纯色魔方的anti-slice subgroup有多少个元素？

anti-slice subgroup：{UD, FB, RL} 3个生成元生成的3阶子群。即：只能用这3种操作，能生成多少个不同的状态?

ps：不知是否能发在这区？希望提供能理解的人工计算的方法。

作者: wpolly 时间: 2010-4-19 20:57:06

我记得某本书上说这个群的大小是6144

作者: superflip 时间: 2010-4-19 21:12:54 标题: 回复 2# 的帖子

是的，写了怎么算的吗？

作者: yq_118 时间: 2010-4-19 21:26:54

这个问题相当复杂，期待高手解答。

[ 本帖最后由 yq_118 于 2010-4-19 21:32 编辑 ]

作者: superflip 时间: 2010-4-21 12:06:31

没有哪位达人帮忙解答下呀！
因为slice group：{UD‘, FB’, RL‘} 的大小很好算，768个元素。所以我很好奇anti-slice subgroup的大小能否手算出来，而且它的大小恰好是slice group的8倍。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 06:31:10

一楼的操作不会改变魔方扰动状态,所以生成的状态数至少不会过超过三阶纯色总状态数的一半

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-22 06:35 编辑 ]

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 10:25:31

资深版主也不过如此。你要能做出来，我不得不佩服你。

pengw回答：如果什么土豆丝丝，泡菜丝丝，口水丝丝都来提要求，我还有时间钩鱼吗？

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-22 13:06 编辑 ]

作者: superflip 时间: 2010-4-22 11:58:16 标题: 回复 6# 的帖子

偶数步这很显然啊！

这个子群很有意思，看着很乱但状态数并不多。而slice group则可以把角都固定看，所以比较清楚。
不清楚这两个subgroup是否有联系？

你有什么好思路吗？

作者: pengw 时间: 2010-4-22 12:58:02

等价于转三个内层，每个内层的块的相对位置和色向都不变，这样分析要简单很多，你去试试。你可以把三阶暂当着空心三阶来变换，再除掉有中心块的状态即可

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-22 13:04 编辑 ]

作者: superflip 时间: 2010-4-22 13:07:47 标题: 回复 9# 的帖子

slice group：{UD‘, FB’, RL‘} 就是等价于转三个内层，所以我说好算呀，可是anti-slice subgroup：{UD, FB, RL}也等价于于转三个内层吗？

作者: pengw 时间: 2010-4-22 13:14:36

仅看棱簇，三内层排列不会超过：4*4*4=64

作者: superflip 时间: 2010-4-22 13:19:23

原帖由 pengw 于 2010-4-22 13:14 发表
仅看棱簇，三内层排列不会超过：4*4*4=64

这是指slice还是anti-slice subgroup？

作者: pengw 时间: 2010-4-22 13:26:28

空心三阶内层排列M=4*4*4

M的每一个排列有24个同态，其中只有12个相对中心块是合法的

所以，一楼的答案应该是：64*12=768

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像yq_118这样的口水丝丝自然无法理解这种运算，因为他根本不懂那些基基本本的道理

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-22 13:35 编辑 ]

作者: superflip 时间: 2010-4-22 13:32:57 标题: 回复 13# 的帖子

我一楼问的是 anti-slice subgroup？还不够清楚？

答案2楼有了，我想知道如何理解。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 13:36:31

13楼不是有解释吗？

作者: pengw 时间: 2010-4-22 13:43:49

1。空心三阶三个内层各自分别有四个转动状态，且是独立转动，所以棱角相对一个固定坐标有M=4*4*4个组合
2。M中的每一个状态因整体转动又有N=24个同态
3。24同态相对中心块，只有12个合法
4。所以最终答是：64*12=768

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关于12，你试试复原三阶有几个换心图就明白了

----------

总的来说，这些儿科问题无须要yq_118这样的口水丝丝来佩服,太基本了,口水丝丝一般不懂基本基本的变换理论

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 13:44:48

资深版主，你还是没解决楼主的问题啊。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 13:45:42

原来以为楼主是在考那像yq_118这样的口水丝丝,所以没有在意

作者: pengw 时间: 2010-4-22 13:47:15

原帖由 yq_118 于 2010-4-22 13:44 发表
资深版主，你还是没解决楼主的问题啊。

你看不懂16楼很正常,你懂得太少了,还是少去搅点口水为好,做人实在一点

作者: superflip 时间: 2010-4-22 13:47:30 标题: 回复 16# 的帖子

拜托版主请仔细看下题目好吗？是 {UD，FB，RL} ！

答案是6144。

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 13:48:49

楼主的问题是：
anti-slice subgroup：{UD, FB, RL} 3个生成元生成的3阶子群。即：只能用这3种操作，能生成多少个不同的状态?

你解决的是{UD',FB',RL'},这是不同的问题啊。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 13:49:31

哦,我算的是相对互逆

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-22 13:51 编辑 ]

作者: superflip 时间: 2010-4-22 13:52:11

2楼的书里给出的，这个你不用怀疑，计算机穷举太简单了，只是我觉得这个子群很有趣，想手算下！

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 13:52:29

数量小的话可以考虑用计算机穷举，最笨的解决问题方法，不过已经超出本版讨论范围了。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 13:53:12

这个问题更简单，我想跟yq_118打赌，赌三个五阶，总不能你让我算什么我就算什么，教人还得收学费

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 13:56:18

我不是赌徒，也没有三个五阶，做学术的不要太在乎利益，完全是因为兴趣。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 13:58:43

那还是悠着点，教会了丝丝招人骂，不会白教。当然你可去自学N阶定律，答案都在那里

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 14:07:28

我有骂人吗？

N阶定律是概括了魔方变换的性质，但到这个问题还是有一定距离。
可以从N阶定律出发解决这个问题，但学会了N阶定律未必会解决这个问题。
也可以从其它思路解决这个问题。

作者: superflip 时间: 2010-4-22 14:11:07

怎么又变味了，版主有思路就快说呀，不要在我的帖子里说不相关的话！这样对治理版面很不好！

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-4-22 14:22:39

楼主试着把那三个转动看成：R,U,F三面的180度转动加中层转。然后棱块的三个簇（注意某2及中层转均不改变棱块所在的簇）以及角块的R2U2F2的两个簇以及中心块簇就自然形成了，再分析它们间的扰动关系（没细想，不过很容易看出只要某个簇有扰动，必然导致其余所有5个簇有扰动，这个特点蛮雷的。因为每种转动都同时改变了所有6个簇的扰动关系。。。）

作者: superflip 时间: 2010-4-22 14:34:12 标题: 回复 30# 的帖子

我也这么想过，就是相互的制约关系有点麻烦，没想明白。

作者: 乌木 时间: 2010-4-22 14:55:41

如果做 UD UD ，等价于U2 D2；如果做 UD UD UD ，则等价于U' D' 。
此外，UD等等动作等价于DU等等动作。不知题目是否禁止DU等等动作？（应该禁止不了的，对吗？）
这样，单单看任一个表层，它还是可以有3种动作的，只不过不能单独行动而已，必须按照题目要求动作。对吧？
那么，题目说“只能用这3种操作”是否要改写一下，以免读者误会？如何写的更确切，我一时想不出。各位说说。

[ 本帖最后由乌木于 2010-4-22 16:52 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2010-4-22 15:15:37

别贪心，先去算算二阶再说

作者: pengw 时间: 2010-4-22 16:01:07

这种类型的爆头命题，各位有兴趣慢慢去玩，若有人身意外，一概自负。哈哈哈

作者: superflip 时间: 2010-4-22 18:15:58 标题: 回复 32# 的帖子

U，D只要同时做就行，谁在前有影响吗？
{UD, FB ,RL} 三个生成元不够明确吗？

作者: superflip 时间: 2010-4-22 18:22:13

原帖由 pengw 于 2010-4-22 16:01 发表
这种类型的爆头命题，各位有兴趣慢慢去玩，若有人身意外，一概自负。哈哈哈

经典语录“哈哈哈”，你说简单就说下怎么算的？

作者: pengw 时间: 2010-4-22 18:39:02

楼主的问题让铯来算算，正合适。他正需要做点事来证明自已，版主不该只会吹牛

作者: superflip 时间: 2010-4-22 18:58:27 标题: 回复 37# 的帖子

受不了了，不说了这个帖子是讨论实际问题吗？你不要老牵扯这，牵扯那。有思路卖关子不说想干嘛！

当初发帖的时候发在这区就是想手算，与计算机无关，发在这区更合适。你作为这区的版主解答下疑问也这么难啊？而且作为版主不应该老把帖子引向无关话题！

作者: 乌木 时间: 2010-4-22 19:18:56

原帖由 superflip 于 2010-4-22 18:15 发表
U，D只要同时做就行，谁在前有影响吗？
{UD, FB ,RL} 三个生成元不够明确吗？

倒也是，上面是我多虑了。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 19:20:24

有关这个问题,铯就不能出点力?什么地方有争执了,他去得之快,手都变成了脚用,该他显山露水,他不会了,让我想想

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-22 19:22 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2010-4-22 19:26:00

先看二阶,你的命题转换成了每面做180度转动,也就是说角块只做对角置换,你再分析下有多少种置换可能,角块弄清楚后,再看棱块.

作者: pengw 时间: 2010-4-22 19:29:42

一般我也不玩这种爆头命题,严格地讲,这些都要运用群论计算才行,事实上,群论也许有算法,但我没见过.到目前为止,我只在N阶定律中见过状态数计算原理,其它一切算法,匀不见原理,我也很奇怪,按理说,计算原理应该由群论来表达,可是,那些北大的数学口水高才些也做不来,没法.

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-22 19:39 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2010-4-22 19:43:59

事实上,这类问题,最终都要转换成直接移动块的方式来计算,正如计算魔方状态.问题是,你给出的转动条件(并非一个固定公式),有可能很难观察到块的移动规律,找不到块的移动规律,你就无法直接计算.最后,只能去求教那些清华北大之高人,不过,他们除了穷举,手中真的没有太多的利器

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-22 19:46 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2010-4-22 19:58:38

简单举例,二个相邻转层能转出多个状态,谁能把这个问题说清楚?

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 20:20:00

原帖由 pengw 于 2010-4-22 19:58 发表简单举例,二个相邻转层能转出多个状态,谁能把这个问题说清楚?

对于三阶纯色魔方，群<R,U>的阶为：
(3^5)*(6*5*4)*(7!/2)=73483200

作者: pengw 时间: 2010-4-22 20:36:39

把原理说出来，没问你要算式

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 20:42:14

(3^5) 角方向
(6*5*4) 角顺序
7! 棱顺序
1/2 考虑奇偶性，一半的状态达不到。

作者: superflip 时间: 2010-4-22 20:59:41

ls说的没错，就是角顺序为120算起来比较麻烦，有些技巧，版里的老帖子有说过。

希望谁也能用些数学技巧把anti-slice 算出来。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 21:12:25

47楼：
你这样算，大家都会，你真认为角块可以按任意顺序置换？难到棱没有色向？

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-22 21:13 编辑 ]

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 21:24:51

资深版主为什么不做个索引贴，让许多好帖白白流失？
http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... ghlight=&page=1

http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... p;extra=&page=1

作者: superflip 时间: 2010-4-22 21:24:56

又无视我在48L的话，角的位置只有120是有证明的，棱的色相难道要考虑？？？

ps：版主不要老无端质疑别人，想想有没有好思路解决未解决的问题才是，前面你不是有贴说很容易，还以为你当时很快就有思路了呢。

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 21:28:13 标题: 回复楼主

这个问题的答案好像不是那么多啊，刚才写程序解，开了十万的数组都溢出。
看来要计算得从新改改程序了。

作者: superflip 时间: 2010-4-22 21:29:02

原帖由 yq_118 于 2010-4-22 21:24 发表
资深版主为什么不做个索引贴，让许多好帖白白流失？
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=26792&extra=&highlight=&page=1

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=11384&extra=&page=1

就是下面这贴，证明很巧妙，希望对anti-slice group也能想出类似数学证明。

作者: superflip 时间: 2010-4-22 21:30:23

原帖由 yq_118 于 2010-4-22 21:28 发表
这个问题的答案好像不是那么多啊，刚才写程序解，开了十万的数组都溢出。
看来要计算得从新改改程序了。

你的程序大概哪出错了，这个无数人计算过了~

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 21:34:39 标题: 回复 54# 的帖子

请问有现成的代码吗？拿来研究下。
找一个程序里的BUG真不是容易事。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 21:55:31

限制转相邻二层与遵照状态理论计算二层区域的块变换是很不相同的哦，不要混为一谈

作者: pengw 时间: 2010-4-22 22:04:45

举例，如果限制转相邻二层，你能不能做一个棱和一个角二元置换而其它块都是复原状态，这个状态在魔方上是合法状态，问题是你转二层能不能转得出来

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 22:11:27

PLL1和PLL2只用了R和U的转动实现了棱块三循环，利用盲拧里面的setup思路可以证明R和U转动可以实现这7个棱中任意3个的位置三循环。
棱方向，会盲拧的都知道R和U改变不了棱方向。
角方向，盲拧里面的两角翻公式改一下U2 R U R' U R U2 R' U2 R' U' R U' R' U2 R，再加上setup就可一实现6个角块中任意2个1个顺转1个逆转。
角位置，这个复杂点，等价于对称群S6中子群<(1234),(1256)>的阶。

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 22:15:39 标题: 回复 57# 的帖子

明显无法实现两个角块的位置交换（不管棱块），这也是为什么角顺序是120而不是720。

作者: pengw 时间: 2010-4-22 22:36:08

58楼的分析事实上还是遵循找到块移动的规律后再用直接移动块的方法进行组合计算，本质上跟前面的描述无异。对转动的任何限制都直接破坏了魔方的定义，玩的已经不是真正意义的魔方，这种玩法有爆头的乐趣，但不会产生新规则和新状态，所取得的状态永远是不受限情况下的子集。

由此来看，限制越多，除增加计算的爆头率外，没有更多的东西。

作者: yq_118 时间: 2010-4-22 22:49:20 标题: 回复 60# 的帖子

哪你认为魔方理论应该研究些什么？
研究这些有什么实际用途。

作者: pengw 时间: 2010-4-23 09:19:23

我认为,求一个转动子集对应魔方状态数的问题,正该由群论来求解,可惜就没有看到一个系统论述解这类问题的贴子,现在所谓能解决的转动子集,说白了,现有的方法是在有限几步或全面对称前提下,找出块的移动规律后,直接计算出来的,似乎还没有跟高档数学手段粘上边,不过这种土办法的作用范围相当有限.

寻找"求一个有限转动集对应的状态数"的通用方法确实是一个好课题,不知哪位高手有意接受挑占战,解决这个问题

作者: 小明的马甲 时间: 2011-6-27 18:54:55 标题: 回复 62# 的帖子

"现有的方法是在有限几步或全面对称前提下,找出块的移动规律后,直接计算出来的"这你可说错了lol

作者: Cielo 时间: 2011-7-5 03:00:57

这类问题还是编程比较快，这应该就是现在的方法吧。

人工找的方法大概需要很多技巧……

作者: 黑白子 时间: 2013-9-8 22:37:50

yq_118 发表于 2010-4-22 21:24
资深版主为什么不做个索引贴，让许多好帖白白流失？
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=26792& ...

链接很好。否则，用时还得找。

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