Tupper自我指涉公式：图象里竟然包含式子本身

dkjiaoyang

转自matrix67的博客
你认为，一个函数图象里是否有可能包含这个函数本身的“图象”？难以置信的是，还真有人构造了这样一个东西。2001年，Jeff Tupper发表的一篇论文里提到了这样一个有趣的不等式：

在0 <= x <= 105，n <= y <= n + 16的范围内，这个不等式对应的图象是这个样子：


其中，n = 96093937991895888497167296212785275471500433966012930665150551927170280239526642
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[ 本帖最后由 dkjiaoyang 于 2010-10-5 21:59 编辑 ]

dkjiaoyang

要是M67说我侵权我就把帖子删了吧。

dkjiaoyang

乌木老师，首先感谢您来关注这个帖子。此帖转自M67博客。下面的分析中有引用他的话，也有我自己的想法。

原帖由 乌木 于 2010-10-5 10:55 发表
“在0 <= x <= 105，n <= y <= n + 16的范围内，这个不等式对应的图象……”

如果我说0≤x≤1，x取整，那么x就有两个值，0和1。
那么0≤x≤105，x取整，那么x就有106个值，0，1，……105，图像的x方向长度为106，无错。
同理，n≤y≤n+16，y取整，y方向有17个值，图像y方向长度为17，无错。
图像大小无错。

原帖由 乌木 于 2010-10-5 10:55 发表
“此外，在X－Y平面的其他地方，这图像还会出现吗？”

不等式右边的式子实际上是[y ÷ 17] * 2^(-17x - y mod 17) mod 2，其中x和y都为整数。而一个数乘以2的负k次方相当于对应的二进制数右移k位，那么x * 2^(-k) mod 2实质上指的是二进制数x右起第k位上的数字。对于自然数n，当17n≤y≤17(n+1)时，指数-17x - y mod 17恰好对应所有的负整数，那么位于y=17n和y=17n+16之间的图象的每个像素就会和t的二进制中的每一位数字一一对应。随着t值的增加，图形的像素会一点一点地变化。当纵坐标足够大时，必然会出现一段高度为17的图象，图象的样子和不等式本身的样子相同。我认为对于任意的图像，应该都可以找出一个这样的n，使得图像出现。但对于这个给定的n值，图像是确定的，至于别的区域会出现什么图像，会不会出现这样的图像，我就不知道了。

dkjiaoyang

原帖由 乌木 于 2010-10-5 14:48 发表
谢谢。原来如此。
这类问题要留心，比如说一个这类图像的宽度范围为x＝0，那么，并非只剩一条几何上的线了，而是一条宽度为一个单元格的纵向“带”。如果误解为一条几何线的话，该图形的y范围值再怎么大，面积就总是 ...

嗯。这类图像的式子中mod的出现意味着图像是由单位正方形组成的，不是点的轨迹。

dkjiaoyang

我都没注意这个……加上转自了……

dkjiaoyang

这不是函数，是不等式。