令人绝望的棺材问题

Cielo

基本只需要用到平面几何的知识吧！

如图，四边形ABCD（想象是空间四边形好了），切点为E、F、G、H，
与球相切意味着：AB+CD=AD+BC，AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，

情形1：EH∥BD，此时AB=AD，=> CB=CD => FG∥BD => FG∥EH => EFGH共面；
情形2：EH不平行于BD，也有FG不平行于BD（否则由情形1知 FG∥BD => EH∥BD）
设 EH∩BD=I，FG∩BD=J，
由梅涅劳斯定理：BI/ID*DH/HA*AE/EB=1，BJ/JD*DG/GC*CF/FB=1
两式相除并结合已知条件，有 BI/ID=BJ/JD，从而 IJ 重合，EFGH 都位于平面 IEF 上，即共面。

Cielo

原帖由 yang_bigarm 于 2009-3-30 22:21 发表
精彩的证明，但还不是最精彩的。

谢谢！
其实这个我也想了很久……还好平面几何的东西还记得一点点。

嗯期待大家继续找出更精彩的证明！

Cielo

原帖由 yang_bigarm 于 2009-3-31 22:51 发表


那么久了，还记得3点共线的梅涅劳斯定理，看来你原来是搞过奥数的吧。
今天查了一下《数学名题辞典》，重新看了一下这个定理，它是3点共线的充要条件。

呵呵是搞过奥数，要不肯定不知道这种东西

Cielo

尽管我还没到惊呆了的程度，不过解答确实非常漂亮！