一道有趣的推理题

kexin_xiao

这是有名的逻辑学家罗素(R．A．W.Russll，1872－1970)在1918年引述的一个逻辑悖论。毛病出在法规本身制订得不合理。其实质在于，该法规把小镇上的全体居民截然分成两类，一类是自己替自己理发的人，一类是自己不替自己理发的人。结果使理发师本人无法归入哪一类。

kexin_xiao

再发个详细的：
所谓的罗素悖论是指：设T:{x|x Not∈x}，也就是说，T是由所有那些不属于自己的那些集合所组成，任一集合x，如果x Not∈x成立，那么这个x就是T的元，反之，T中每一元x都有这种性质，亦即若x ∈T，就有x Not∈x，罗素先生问：集合T是否属于它自己呢？
为了说明此一悖论，罗素先生形象地举了一则理发师悖论的故事。该故事说道：【在在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。】这是一个具有矛盾的推理：如果理发师不给自己理发，那么，他就属于招牌上的那一类人；有言在先，他应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌上所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他就不能给自己理发。因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。
无疑，在理发师悖论中，其内在的矛盾是无法排除的，因为此矛盾的双方属于逻辑中的排中律的非此即彼之双方，没有前辍可缓冲。理发师由于没有掌握排中律的道理，说话时将二个本不应该同时出现的事件融为一体，从而引发了语义上的矛盾。试想一下，矛盾之词的来历，也正是鉴于这样的道理。
然而，所谓的罗素悖论，却并非此类矛盾的翻版。因为在罗素悖论中是有前提的，这个前提就是集合。我们知道，所谓集合，就是将具有某性质的元素归纳在一起，用一符号表之，从而才有了这个所谓的集合；否则，这所谓的集合也就无从谈起。集合作为一种概念，最起码的常识就是从逻辑上应该可以赋予其内涵和外延，人们才能了解集合的性质。
作为集合的外延，很容易理解，某集合所归纳的元素就是它的外延。例如，设集合A为有自然数1、2、3，则有集合A：{1,2,3}。而对于集合的内涵，鄙人不才，因此不敢肆意妄为，给集合下什么定义。但有一点却是可以肯定的，集合在归纳元素时，不可能将自己吞进肚子里去。因此，任何集合都应该具有这样的性质，在集合的本身就存在有逻辑学中的排中律：{x|x Not∈x}。
作为一个集合的符号x，其中的元素可以是任何别的东西，但决不会是符号x本身。因为任意集合都具有{x|x Not∈x}这样的性质，所以符号{x}在集合论中是被定义为另一具有元素x之集合，而不是集合x。
当罗素先生以悖论的方式在询问T是否属于它自己时，只是在重复提问集合开始时的问题，并无新的内涵。这让我想起了小时候的一个讲故事之事，内容是：【从前有个小和尚，给别人讲故事，那位小和尚说，从前有个小和尚，给别人讲故事，那位小和尚说，从前有个...。】反反复复就是这两话，可以讲到世界的末日，也没有将故事讲完。
显然，罗素悖论是忘却了所谓的符号X只代表其本身这一事实，混淆了符号中的内涵与外延之区别。{x|x Not∈x}是作为集合x的内涵而存在；符号x中的元素是集合x的外延，说明在集合x中具有多少元素。同样，对于集合T也具有这样的性质，其与集合x的区别仅仅是符号之不同，而没有本质上的区别。罗素悖论企图移用理发师悖论于集合论，却在前提上犯了个错误。在理发师悖论引发了矛盾的推理之前提，而在集合论内涵中却是最基本的原则：集合的包含性。
如果罗素悖论成立，那么，悖论的反义就是{x|x ∈x}是正确的；如此而为，会有什么样的效应呢？设集合x有元素为x:{1,x}，打开集合x中元素x，则有：
x:{1,x:{1,x:{1,x:{1,x:{1,x:{...}}}}}}
这就是将{x|x Not∈x}当作悖论所获得的结果。
若{x|x Not∈x}不是作为悖论而是集合的属性，即任何集合都不可能将自身归纳在内，就不会在集合内产生无限循环之现象。所以，在罗素悖论中被引用为悖论的{x|x Not∈x}，应该是集合的内涵，而不是外延。所以，根本就不存在自己属于自己这样的元素，只有自己等于自己的元素。