有人尝试过手动计算圆周率pi吗？

aubell

在半径为 1 的圆里面
假设内接正多形的边数为n, 一边长为 x ，周长就应该是 n * x ；
下一次切割以后，边数会变成2*n ，边长会变成 SQRT( 2- SQRT(4-x*x) ) 的形式，简写
成 f(x)，周长是 2*n* f(x)

一直切割下去，周长就可以接近 2*PI 了

[ 本帖最后由 aubell 于 2011-6-8 12:44 编辑 ]

aubell

算筹
笔和纸
算盘
计算尺
加法机
积分机
计算器
计算机
超级计算机
网络计算，分子计算，量子计算... ...

纯手动定义在笔和纸的地方，算盘也不可以用，但可以用算筹，
从算盘到计算器算做半手动；
从计算机以后算做脑动。

[ 本帖最后由 aubell 于 2011-6-8 12:58 编辑 ]

aubell

据说日本词汇里面的“自动”，不是指机器自动运行，而是
是人自己动手的意思。自动==手动

aubell

这层贴几个程序，计算PI；
包括BBP算法。
向算法的设计者和程序的设计者致敬。

又收集到有人用BrainF**K写的，计算PI的程序，而且可以计算的很远，
放在yapi中，连同一个BrainFK的解释器。

有空了在分析这个程序是怎么写的，牛人太牛了。

[ 本帖最后由 aubell 于 2011-7-18 19:12 编辑 ]

aubell

先给个推导过程。
至于为什么小于3.1415927，这个问题很难。

[ 本帖最后由 aubell 于 2011-6-10 11:52 编辑 ]

aubell

据说那是阿基米德的方法；刘徽和祖冲之只用内接圆就可以有上限。

aubell

这一层发笔算开平方的方法(非原创)
一、
例 求316.4841的平方根.
第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.
第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.
第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.
第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.
第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.
第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：






二、
也可以用这种算法：
　　假设被开放数为a，如果用sqrt（a）表示根号a 那么(（sqrt(x)-sqrt(a/x))^2=0的根就是sqrt（a）
　　变形得
　　sqrt(a)=（x+a/x）/2
所以你只需设置一个约等于（x+a/x）/2 的初始值，代入上面公式，可以得到一个更加近似的值，再将它代入，就得到一个更加精确的值……依此方法，最后得到一个足够精度的（x+a/x）/2的值。
　　如：计算sqrt(5)
　　设初值为2
　　1)sqrt(5)=(2+5/2)/2=2.25
　　2)sqrt(5)=(2.25+5/2.25)/2=2.236111
　　3)sqrt(5)=(2.236111+5/2.236111)/2=2.236068
　　这三步所得的结果和sqrt(5)相差已经小于0.001
（这个就是迭代法了。）




三、
二分法：
　　设f(x)=x^2-a
那么sqrt(a)就是f(x)=0的根。
你可以先找两个正值m,n使f(m)<0,f(n)>0
根据函数的单调性，sqrt(a)就在区间（m，n）间。
然后计算（m＋n）/2，计算f（（m＋n）/2），如果它大于零，那么sqrt(a)就在区间（m，（m＋n）/2）之间。
小于零，就在（（m＋n）/2，n）之间，如果等于零，那么（m＋n）/2当然就是sqrt(a)。这样重复几次，你可以把sqrt(a)存在的范围一步步缩小，在最后足够精确的区间内随便取一个值，它就约等于sqrt(a)。
（这种大概是计算机用的）


[ 本帖最后由 aubell 于 2011-6-10 12:48 编辑 ]

aubell

笔算开平方是不容易的，你想，一层根号下来，小数位数少掉一半；
要算到7位小数的PI，初始的第一个根号3应该算多少位小数呢？？

aubell

大概还是要用级数来计算了。

aubell

如果过程中保留18位小数，其实只要计算60项不到就可以得到 3.14159265358979 了。