正n面体骰子的问题

lulijie

有个正n面体骰子，各面的点数分别为1、2、3、......、n。
把这骰子投出后，与桌面相贴的面的点数称作为该骰子投出后的点数。
骰子投出每种点数的概率都相同，都是1/n。
那么：
1.  该骰子先后投两次，点数分别是a1、a2。求a1不大于a2的概率。
2.  该骰子先后投k次，点数分别是a1、a2、......、ak。求a1<=a2<=......<=ak的概率。

lulijie

4楼的答案是正确的。
k次投骰子，总共的结果数为n^k种。
设其中符合要求的总数为f(n,k)。那么所求的概率=f(n,k)/n^k。
可以证明f(n,k)=C(n+k-1,k)。
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可以用数学归纳法证明  f(n,k)=C(n+k-1,k)
1.  k=1时，f(n,1)=n  显然成立
2. 假设f(n,k)=C(n+k-1,k)成立
   那么   f(n,k+1)=∑ f(i,k)       i从1到n                  (设an为i，得出)
                                =∑ C(k+i-1,k)       i从1到n         (利用假设成立的式子)
                                =C(k+n,k+1)
   所以 k+1 时也成立。

lulijie

8楼简单，我理解他的方法了。