空心魔方扰动方程的悖论

乌木

并不矛盾的吧？
“表层S=A+M，说明角块和棱块不可以独立做二元轮换”的前提是，任何表层一转（或多个表层累计奇数次转）90° ，结果总是角块和棱块都由原来的偶态变奇态。这里没有任何中层转掺乎进来。

“L+S=A，说明角块可以独立做二元轮换”的前提是，任何表层累计做奇数次90°转，还有任何中层累计做奇数次90° 转，总的结果是角块由原来的偶态变换为奇态；而棱块的位置一般也有变，态性一定不变。

“中层L=M，说明棱块可以独立做二元轮换”，这句话的理解类推。

例如：

  
  
  
  
  
  
  
  

表层：10次90°转，10 S＝10 A ＋10 M＝0＋0＝0 （每两个A之和为0，每两个M之和等于0，0表示没有态变）；
中层：7次90°转，7L＝7M＝M ；
综合：TF2 U' MF U TF2 U2 MR U MR' U 的结果是M，即棱块变为奇态。

接着再变：

  
  
  
  
  
  
  
  
  

表层：13次90°转，13S＝13A＋13M＝A+M，所以，角块原来偶态变为奇态；棱块原来奇态变为偶态。

乌木

如何用这种“方程”来计算总态数，我还不清楚。

二阶、四阶没有中层转，三阶有中层但一种算法中不转中层，看来，空心三阶确实特殊。

有一种计算总态数的方法是，不动六个中心块，先随机组装角块和棱块，再排除错装态，那么，
S=A+M的情况在有心三阶总态数计算中包含了；
L=M或L+S=A 的情况在有心三阶总态数的计算中被分母上的一个“2”所排除了，所以在计算空心三阶总态数时，分母去掉一个“2”即可。
再考虑到空心之后，随机组装态之中，每24个态属于同态，分母要除以24。
所以，

三阶有心总态数：
8！* 3^8 * 12! * 2^12 / (3*2*2)＝4.3 * 10^19

三阶空心总态数：
8！* 3^8 * 12! * 2^12 / (3*2*24)=4.3 * 10^19 / 12



  

乌木

“空心三阶魔方的2个簇（角块簇和棱块簇），一会相互扰动，一会互不干扰这个现象如何解释？”

是否这样理解：这两者并不矛盾，还是要看全部动作叠加的最后效果：
* 最后是前者，只好承认出现了既有角块的奇态，又有棱块的奇态。对此，魔友们会用一些有心三阶的公式继续复原成功空心三阶的，无需空心三阶专用公式；
* 最后是后者，也只好承认出现了一个簇是奇态，另一簇是偶态。对此，魔友们就会用空心三阶专用的公式成功复原的。

上述两者都有可能出现，这现象还是很好解释的：
原因还是空心三阶有中层转——转了奇数次90°的话，造成棱块簇切换态性而角块簇保持原来态性。如果继续做有心三阶的有关公式的话，完全可以把“棱奇角偶”转换为“角奇棱偶”，或者反过来转换。（四阶魔方也有类似现象。）
而有心三阶的中层一转90°，等价于中层不动而两个表层反向转90° ——角块和棱块的态性都不变。此处，中层一转90°时，中心块组也整体旋转90°，所以，棱块簇态性并未切换，这和和空心三阶的中层转大不同。
此处，为何要把中层转转换为两个表层转呢？因为这里的前提是，有心三阶的变化不变化，约定是相对于中心块组而言的，这参照物（中心块组）当然不能动。
反过来，空心三阶的中心空穴派不上用场了，状态的变化不变化，一定是相对于魔方的环境而言的。但是在统计总态数时做消同态工作时，又不能参照环境了，必须参照本身的某一个块。

乌木

“在有心三阶魔方中，中层转相当于2个表层转，空心三阶魔方也可以理解为中层转相当于2个表层转，问题是一个表层转时扰动方程写作表层S=A+M，2个表层转时就写作L=M”

对这段话的一部分，我有不同想法。
“空心三阶魔方也可以理解为中层转相当于2个表层转”，我不这样想。
复原态空心三阶，做MD，棱块簇有一个四轮换，棱块簇变为奇态，角块簇不变，仍为偶态。
同方位的复原态空心三阶，做U D' ，角块簇有两个四轮换，仍为偶态；棱块簇也有两个四轮换，也仍为偶态。
这两个态相对于环境而言，是两个态。
只不过在做消同态工作时，参照物改为（比如）某个角块，两个态就是同态了。

本来是同一个事物，看上去矛盾的两个说法，只是由于参照物不同而已。

关于空心三阶的现象和有心三阶的现象之间别的区别，也是源于参照物不同。把空心三阶的“特殊”公式在有心三阶上做一遍，就可以看到实质的变化了。

乌木

在查看空心魔方的变化时，比如看一个打乱过程等等，参照物始终为环境，做了n次表层90°转（不管顺逆），就累加n个S（＝A＋M）；做了p次中层90°转（不管顺逆），就累加p个L（＝M），最后再求和 nS＋pL，得到角块和棱块是什么样的奇偶态就是什么样的奇偶态。
可见，既然转空心魔方时可以表层转转，再中层转转，等等等等，那么，S式和L式就应该可以都对应地用上去。

至于在比较两个空心魔方的状态是或不是同态，需要把参照物改为（比如）某个角块，比较、判定的过程也用不上什么S式、L式的了，因为此时不再转哪个转层了，不用担心角块簇和棱块簇的态性又有什么变化的了。

乌木

表观上可以，实际上省略了最后一步CU'，不省略的话，就可以分析出棱块为奇态：

  
  
  
  
  
  
  
  


一共有18个表层90°转，18S＝18A＋18M＝0＋0＝0；
还有一个中层90°转，L＝M；
综合求和为M 。

如果做到最后第二步B'，不再做CU'的话，可以看到，那个红白棱块回到原位，这就谈不上它和哪个块或哪些块有任何方式的交换了。这是看红白棱块。再看别的块，该回到原位的却都不在原位，哪里有什么“单单两个棱块交换了”可言呢？
所以，此处探讨此事，不能省略CU'，做了CU'，就有中层转了。

常常见到一个公式最后的转顶或最后的整体转省略了，在此处的探讨中，就会造成“空心三阶不转中层也可以使两个棱块或角块交换”的错觉！

乌木

21次表层90°转：21S＝21A+21M＝A＋M；
补CF'：2S＋L＝2A＋2M＋M＝M；
A＋M＋M＝A 。
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空心三阶的两角换或两棱换公式，如果在有心三阶上做一遍，可以看到两角换或两棱换的同时，总是中心块组相对于角块－棱块框架有奇数次90°转，那么，如果不转中层的话，中心块组怎么可能这样呢？

  
  

乌木

正是，21楼和22楼的现在的结果谈不上“交换了两个块”呀！


通常一个公式最后的转顶或整体转之类的步骤省略只是一种惯例，而这里探讨三阶空心魔方20个块的位置变化问题，怎么可以省略呢？

往往是为了直观，初态的情况很简单、直观，省略了什么步骤的话似乎无关大局，但是，如果如下图这样，只转表层，省略整体转（含有中层转！）的话，一下子看不清发生了什么情况呢！

  
  
  
  
  
  
  
  
  

乌木

对，空心三阶根本别管中心空穴如何如何，因为中心空穴的位置变化是隐性的。正像纯色三阶有心魔方的中心块，自转不自转也是隐性的，所以，复原好一个三阶有心魔方后，谁也不会去追究中心块自转不自转的问题。

但是，空心三阶的20个块的位置变化时，说仅仅转表层就可以交换两个块，至少是有欠缺的。

乌木

好像没有人否认。
争论的是“只转表层就可以交换空心三阶的两个块”。
不必转换题目。
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试想：三阶空心魔方8个角块和12个棱块的这样的一种系统，每次表层一转90°，总是有关的四个角块发生一个四轮换，角块簇切换态性，同时，有关的四个棱块发生一个四轮换，棱块簇也切换态性，从来没有哪一次表层一转仅仅角块切换态性或者仅仅棱块切换态性的。
好，请问，若干次表层转的叠加效果怎么可能造成仅仅角块切换态性或者仅仅棱块切换态性呢？