请教：扰动的定义

乌木

原帖由 Cielo 于 2009-6-10 17:31 发表
粗略地说，同一个簇内如果总效果是发生了奇置换，那么就说这个簇内有“扰动”的现象。

确实这是粗略说法，确切说法是不是这样：用中心块为参照物，如何如何……。
比如下图，相对于大部分角块、棱块构成的框架来说，发生了一个两棱块交换和中心块组整体转了90度，算不算扰动态呢？恐怕不算。因为，相对于中心块来说，角块发生了两个四元环；棱块发生了一个三元环和两个四元环。显然不是扰动态。
所以，不能从感觉出发，表观上看到“两个块交换了”，就说有扰动了，不能这样说。下图中，那个红黄棱块，相对于中心块来说，恰恰没有改变它的位置（只是就地翻了一下颜色，而色向情况好像与扰动不扰动无关的吧？）。
                        

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-6-11 10:14 编辑 ]

乌木

要用像样的数学语言来叙述我不会，别人写的正规一点的文章，我也看不大懂。我试试罗嗦罗嗦。有的说法没把握时，我会反问一下。有错的话，大家指出。

在三阶魔方中，各块有色向变化，有位置变化，好像扰动问题只是对位置变化而言，对吗？
角块只能在8个角位上周游，它决不会跑到棱位上或中心块位上去。棱块也只在棱位上走来走去。这样，8个角块总称角块簇，12个棱块总称棱块簇。至于中心块，为了方便，固定它们，委以“三阶魔方变换参照物”的重任－－各块的一切位置变化（以及色向变化）均相对于中心块簇而言！（10楼那图的例子再好没有了：相对于中心块而言，和相对于别的东西而言，弄不好会得出不同的结论。）

打乱以后，相对于中心块组而言，角块簇和棱块簇一定是各自形成或多或少、或长或短的位置循环。一个循环由奇数个块构成，就叫奇元环（比如三元环、五元环，等等），由偶数个块构成，就叫偶元环。

凡是奇元环，都可以在簇内（用比如三轮换方法）使它的各块位置复原，而不影响簇内别的块或别的簇。
凡是偶元环，就办不到－－用比如三轮换方法可以在簇内让这个偶元环中的一部分块位置复原，最后必然剩下两个块要对调（至此还没有影响环外的同簇块或别簇的块）。而三阶中偏偏是，单单交换两个块是办不到的，解决这两个“钉子户”的交换问题非要涉及簇内别的块或别的簇。

一个正确三阶魔方的某簇中出现偶元环是完全正常的，问题是，它不可能单独出现。要么簇内共有偶数个偶元环；要么两个簇分别都有奇数个偶元环。这现象反过来说明，要在一个簇内复原一个偶元环的话，一定要影响簇内环外的块的位置，或者一定要影响另一簇内某些块的位置。最好的例子就是，PLL 公式中没有单单两个块交换的，要么一个簇内有两个二置换，要么两个簇各有一个二置换。

一般，相对于中心块而言，三阶的一个簇内有了奇数个偶元环，就叫该簇为扰动态。这是指整个簇为扰动态，不能指认某几个块为扰动态，因为造成扰动态的这种位置情况可以在簇内转移的。同时也可以知道，一个簇为扰动态时，另一簇一定也是扰动态。否则，必定是错装态。

三阶中奇元环和偶元环同时存在时，一个簇的扰动性质，只与偶元环及偶元环的数目有关，另外有无奇元环无所谓。比如棱块簇有一个二元环和一个四元环，不是扰动态；有一个六元环，是扰动态，等等。

至于中心块自转方向变化为显性的所谓“全色三阶魔方”，在扰动问题上的表现倒不是位置问题，而是，角块、棱块处于扰动态时，中心块簇也一定处于扰动态－－相对于复原态而言，有奇数个中心块转过了90度（无论顺、逆时针）。也就是，三阶全色魔方的任何一个态（包括扰动态和非扰动态），无法使奇数个中心块再转过90度而不影响角块、棱块的当时状态。但是，任何状态（哪怕是个错装态）时，使偶数个中心块再转过90度，或使任意个中心块再转过180度，且不影响角块、棱块的当时状态，毫无问题。

所以，什么叫扰动，是不是可以这样说：一个正确三阶魔方中，相对于中心块而言，角块含有奇数个位置偶循环（此时棱块一定也这样，中心块则一定相对于复原态而言有奇数个转过了90度），该魔方的状态就是扰动态。

扰动态不等于错装态，前者可复原，后者不可复原。错装三阶魔方如果只有色向错，位置没错，同样可以有扰动态，其位置照样可以复原，只是色向不可复原。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-6-12 09:56 编辑 ]

乌木

楼上说：“显然簇的扰动与否,与参照哪个中心块无关”，
那么，让纯色三阶的六个中心块同色，或者改变结构成为“空心魔方”，有时，接近复原的尾声时，会出现要求单单交换两个块的情况。如果是要单单交换两个棱块，能否说该魔方此时棱块簇处于扰动态，而角块簇处于非扰动态呢？如果再让情况转换为单单两个角块要交换，是否又变为角块簇扰动，而棱块簇非扰动呢？
这样认识似乎也无妨，只是参照物是复原态的角块－棱块框架整体而已。至于此时的中心块组，本来无区别或看不出，不用理睬它们就是了。对吗？
而且，还可以看上去仅仅在扰动簇内部解决例如两块交换的问题呢，比如：
         
  
  
  
  
  
  
  
  

这么一来，也就无所谓扰动态了。不是吗？这个动画的例子，表明如果抛开中心块或不参照中心块的话，簇内二交换也好，三轮换也罢，都能簇内解决，何来扰动不扰动呢？
这样，对扰动的含义，得重新考虑了。
但是像10楼一类的图，就不能无视中心块组的存在了，除非事前声明不计较中心块组的变化。
所以，通常说的扰动态角块只能和扰动态棱块组合，非扰动态角块只能和非扰动态棱块组合，云云，其实是省略了说前提－－中心块看得出，且被作为角块、棱块位置变化的参照物。
总之，对于“显然簇的扰动与否,与参照哪个中心块无关”这句话，我初步想到这些问题，还未完全理清楚。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-4-3 23:29 编辑 ]

乌木

或许可以这样理解你的说法：

通常用中心块簇作参照，固定它们的位置，则相对而言的角块簇的位置变化和棱块簇的位置变化分为两类－－偶角簇组合偶棱簇；奇角簇组合奇棱簇。总态数多达四千亿亿。

这么多的状态之中，有一批是角块簇本身保持着复原态时的相对位置关系没变，只是相对于中心块簇而言角块簇有了整体旋转，好，对这一批状态，不妨用这样的角块簇为参照，奇棱簇组合奇态中心块簇，偶棱簇组合偶中心块簇。
此处的所谓中心块簇的奇偶，是否不看各中心块的自转角度，而改看相对于角块簇整体转过奇数次或偶数次90°。而空心魔方的“中心块”，被运动规律同样的“空间”代替而已，这规律不因为玩家看得出看不出它们而变。

类似地，四千亿亿态之中，还有一批棱块簇本身情况相对而言没有乱，不妨用棱块簇为参照，考察角块簇和中心块簇的奇偶组合关系。

（顺便提一下，六面换心态和四面换心态则是这两批状态的交汇，甚至可看作三种参照法的交汇：对这批换心态分别用三个簇作参照，都不难分析。）

看来，后两种观察方法和第一种参照中心块簇的方法并不矛盾，描述的是同一事物－－魔方各块的位置变化规律。一定条件下用角簇或棱簇为参照只不过是参照变换而已。

这样想想，你的说法“显然簇的扰动与否,与参照哪个中心块无关”还是有道理的，只不过说法似乎还可以改得更确切些。

顺便提一下，一个簇块的位置变化之所以会有奇态、偶态之分，离不开魔方的基本动作的性质。三阶的基本动作是表层每转90°，总是发生一个角块四轮换并一个棱块四轮换和一个中心块自转90°。高阶的基本动作不只是表层转，还有内层转，情况又不同一些。
“彩虹魔方”表层每转只有一个簇块的一个三轮换，就谈不上奇偶交替变化；“五魔方”表层每转总是一个簇块的一个五轮换和另一簇块的一个五轮换，也没有奇偶变化。
更有意思的是，SQ－1魔方，还可以做到单单交换表观不同簇的“角块”和“棱块”两个块！

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-4-5 23:25 编辑 ]