求完全乱的魔方的种数

noski

满足这要求的状态有很多，得算算再说。。

noski

楼主真提出了一个难题啊，现有的理论都解决不了这个问题。。。。<BR>具体不会算，先估算一个结果吧，将魔方随意打乱到任意状态，然后将各个块在原地进行精细的调色，绝大多数情况下都能达到“六面无同色相邻”的情况。考虑到有的位置分布其“六面无同色相邻”的颜色取法不止一种，而个别位置分布不可能“六面无同色相邻”，故我估计，“六面无同色相邻”的状态数大致等于不考虑色向的魔方状态数。<BR>即：无同色相邻数目 ≈12! * 8! /2 ≈9.6万亿个状态，而随意转动魔方达到“六面无同色相邻”的概率约为1/(3^7 * 2^11) ≈450万分之一。<BR>当然这只是估计，仅供参考。。 <BR><BR>调色遵循以下规则： <BR>1. 所有块都不改变位置，在原地翻转。<BR>2. 棱块颜色受相邻中心块颜色制约，如棱块上的一个颜色与一相邻中心块同色，则该棱块方向确定，暂且称为“被约束的”；<BR>3. 未受制约的棱块两个方向均可，暂且称它为“自由的”；<BR>4. 角块方向受三个相邻棱块颜色制约，往往周围的一两个“被约束的”棱块，就决定了这个角块也是“被约束的”； <BR>5. 角块几个方向均可的情况，称之为“自由的”；<BR>这样，除了偶尔发现矛盾的情况，总能调成“六面同色不相邻”的样子。。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-1-16 16:56 编辑 ]

noski

其实，“12! * 8! /2 ”这里的除以2；还有“1/(3^7 * 2^11)”这里用了3^7 和2^11（而不是3^8和2^12），都已经遵从了魔方变化的规律。这是对的。问题是棱和角就地调色时，调到最后一个棱和最后一个角时，除了楼主题目要求外，也还要遵从“色向和”规律，这一点会不会要求在12! * 8! /2个状态中再除去一批？

<BR>
我考虑的时候是把中心轴固定，这个12个棱8个角的位置共有12! * 8! /2种不管颜色的位置排列（除以2是因为不可能出现单独两个棱换位或单独两个角换位，所以最后两个块位置确定），每种位置排列的颜色有3^7 *2^11种可能（考虑了最后一个角块色向确定，最后一个棱块色向确定，所以不是3^8 *2^12）。这两个数字相乘，就是纯色魔方的总状态数。这一点是与“六面同色不相邻”条件无关的。
<BR>

这一批是否如你所说的只是“偶尔发现矛盾的情况”？也就是说，是不是“偶尔”的呢？

<BR>每一种位置排列下，只翻色不换位，有一部分块的方向是能被确定的（因为旁边的中心块或棱），另一部分块可能朝哪个方向都行，这就有了自由度，可以从底层往上调色，最后出现矛盾的时候再翻那些有自由度的块。但是有时候，会出现怎么翻色都矛盾的情况，比如三个棱确定，被这三个棱夹在中间的角就可能怎么翻都不行。我说是“偶尔”，因为我也不知道这情况有多少，但和能达成“六面同色不相邻”目的的情况相比，是少之又少的。。<BR>

还有，“如棱块上的一个颜色与一相邻中心块同色，则该棱块方向确定”，这“同色”不符合题目要求吧？是否应为“不同色”？

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比如U面是黄色，黄红色的棱在UF位置，这样“此棱块的黄色”与“相邻U面中心块的黄色”一样，所以此UF位置的棱块必是红色在U面，黄色放在F面。我管这样的叫确定。。<BR>
<BR>
可能说的不太清楚，而且也只是初步估计，但能得到一个大约的数字也是好的，以后慢慢减小偏差吧。<BR>
另外，随意把魔方打乱后，“调色”时不要动各个块的位置，实在没法调成“六面无同色相邻”，就遇到了那种“偶尔”的情况。。

noski

举个不改变位置无法调成“六面无同色相邻”的情况：<BR>
U面中心块黄色，F面中心块红色，R面中心块绿色；<BR>
UF棱红黄，UR棱绿黄，FR棱绿红；<BR>
UFR角为白绿红。。<BR>
这样，三个棱色向确定，而无论怎么翻UFR角块，都有同色相邻。。于是，此位置排列的450万种颜色情况中，无“六面同色不相邻的情况”<BR>
这种情况有什么特征，有多少，还有待考虑。。

noski

其实那几个数只要了解魔方的性质，就可以用排列组合算出来了，N阶定律是对魔方性质的一个很好的表达，可是目的用它来算颜色还不行。。别的理论就更不行了。。
那个贴我只是随便一说，看来还是改一下好。

noski

从全色魔方复原态开始，经过 E2 M2 S2 就可以达到一楼的要求，没有同色相邻，而且此状态的特殊之处在于：无论怎么翻色，只要不换位置，都满足要求。。那在这个位置分布下，450万个不同的颜色情况都是答案。。<BR>而像14楼那个例子，除了那四个块，其它的块无论处于何种位置，均无答案。这又将排除掉很多位置分布。<BR><BR>所以，所谓“全乱”和“最远状态”应该没有直接关系。 他的“乱”是指颜色的乱，而不是位置的“乱”……<BR>

[ 本帖最后由 noski 于 2008-1-16 23:28 编辑 ]

noski

正六面体三阶魔方的“全乱”和“最远状态”的个数也有相似之处。

这个还望解释一下，是怎样的相似？看了48同态也没明白……48同态是你对二阶的状态进行搜索时提出的吧，也就相当于三阶的角块。我觉得和颜色分布也没什么关系。。

noski

玩一玩着色游戏也无妨嘛

noski

你那个色诱的比喻真令人汗颜。以为我是那种会轻易被“色诱”的人吗……是对是错我自会判断。本来讨论着色讨论得好好的，ggglqg过来插播他的循环变换广告，于是这里就变成了硝烟弥漫的战场，但是请不要把我扯进去。

noski

正忙着搬家，寒假如期而至了，有更多闲暇时间来考虑魔方的问题，可是上网就不那么方便了。。
回去继续想想航线的问题