在 N 进制中，首位数为 m 的自然数的概率

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在 10 进制中，首位数为 m 的自然数的概率 (1 <= m <= 9 ，m 为自然数 ) 为：

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在自然界中，多个事物（人 或 数 或 ...）在各方面条件均相同的情况下，先下手者
为强！

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在 N 进制 ( N > 1 ) 表示的数中，首位数为 m 的自然数的概率 (1 <= m <= N-1 ，
m 、N 为自然数 ) 为：

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欢迎大家一起讨论，也可以在实数域探讨！

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以下是引用乌木在2006-3-28 16:20:57的发言：

自然数集合中首位数为 m 的自然数是子集。子集是合集的“部分”，这两个都是无穷大，在无穷大的世界里，它们是一样大的，即可以是部分等于全部。缘于首位数是 m 的自然数集合与整个自然数集合是一样大的无穷大，比率（成分）是1/9的说法确是有问题的。

以下是引用乌木在2006-3-31 0:39:52的发言：

对所说概率算平均值是什么意思？是否如下：

自然数有无穷多，要想知道首位是 m 的自然数在所有自然数中的比率（成分）占多少，我们先要从自然数中取出一定量的数，算出其中的比率。取多少数、怎样取，应是随机的。应该对每一种取法求出一个比率，再对各种取法的比率求平均。

这个平均比率就是对数量不确定的自然数中取得首位是 m 的数的概率。（不知这样说法对不对。）

嗯，有道理！大家继续探讨。（注：我把 1 改成 m 了。）

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原帖由 lulijie 于 2009-3-6 20:18 发表


先例举：
一：
   S=19      首位为1的个数：11
   S=199      首位为1的个数：111
   S=1999      首位为1的个数：1111
  ……
  S=2*10^k  -1   首位为1的个数：[10^(k+1)-1]/9

所以  ，k趋向无穷大时， P(2*10^k  -1) 的极限=
         [10^(k+1)-1]/9  /  2*10^k  -1    (k趋向无穷大)
      =5/9。
二：
   S=9     首位为1的个数：1
   S=99      首位为1的个数：11
   S=999      首位为1的个数：111
  ……
  S=10^k  -1   首位为1的个数：[10^k-1]/9

所以k趋向无穷大时，P(10^k  -1)的极限=1/9
------------------------------------------
因为  P(10^k  -1)    与     P(2*10^k  -1)       K趋向无穷大的概率是不同的，
所以P(S)    S趋向无穷大的值是发散的，概率不存在，所以楼主的结论根本不成立。
就好比   1+（-1)^n    的极限不存在一样。

　　
　　
　　
  
  
    嗯，如果从“求极限”的角度看，“首位数为 m 的自然数的概率”是发散
  
的，但......大家可以上网查阅相关的资料，比如魔方论坛的这个
  
   
          首位数问题
   
    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=2109&page=2#pid22975
  
  
    应该说，网络上的那些资料对“概率”的理解有些“与众不同”，但我们
  
可以从中学习学习，也算是开阔一下视野嘛。呵呵！