[原创]续一式解万方

邱志红

续一式解万方

-------- N 阶魔方的其他问题及延伸

作者：邱志红

目录

一、N 阶魔方的内部问题

二、两棱问题

三、N 阶魔方的结构模型

四、小块的坐标

五、N 阶魔方的转动模型

六、H 函数的推广

七、长方体魔方的模型

八、长方体魔方的复原

九、长方体魔方的相关问题

十、统一论

一、N 阶魔方的内部问题

　　当你看到上一篇的最后一节时，你是否注意到：“ N 阶魔方的表面就这么多就可以了”这么一句话。这明显的就是我留下的悬念，表面复原了，那内部呢 ? 魔方内部是否也跟着复原了呢？

　　答案是否定的，即魔方的表面复原的时候，内部不一定复原，而且内部复原的几率还很小。我以前的帖子里面就提到过这个问题了。现在我有了完全的解决方法了。

　　首先定义几个概念：

　　　　魔方的阶 :N 阶魔方的表面称为 N 阶，内部包含的 (N-2) 阶魔方的表面称为 (N-2) 阶，依次定义直到最后的 2 阶或 1 阶。

　　　　魔方的层次：N 阶的表面称为 N 阶魔方的第一个层次，(N-2) 阶的表面称为 N 阶魔方的第二个层次，依次定义直到第 个层次或第 个层次。

　　由以上的定义发现：N 阶魔方是一层包一层的，依次递减两阶。所谓的阶，层次都是指的某一表层。是不包括内部的。同时定义两者是为了描述的方便，其实一个就够了。

　　有了以上的定义，就有一个定理：H 函数对应的公式只影响某一个层次，而对该层次以内或以外的层次无影响。而且被影响的那个层次由三个转层中最靠外的一个转层决定。

　　考虑到 p,q,r 的取值都是 1-n, 靠外的层所对应的 变量 不一定 就小。比如第 n 层就是最外层，但 n 是最大的。所以最靠外层用数学的方法表述就是。令 S 是最靠外层，那么

S=min{p，q，r，(n+1)-p，(n+1)-q，(n+1)-r}

　　即要确定最靠外层，观察三个转层的时候都要从正反两个方向来看。六个中最小的才能称为最靠外层。由于令 S 是最靠外层。那么定理就可以明确地写为：H 函数对应的公式只影响 N 阶魔方的第 S 个层次。其中 S=min{p，q，r，(n+1)-p，(n+1)-q，(n+1)-r}, 而对大于或小于 S 的层次是无影响的。

　　是不是觉得很不可思意。还是觉得不可能。那我就证明一下吧。

　　证明：1.对于大于 S 的层次，至少第 S 个转层是不参加转动的，因为大于 S 的层次根本就没有那个转层。现在来看一下 H 函数吧。看看缺少某一个转层即缺少某种颜色字符的层之后的 H 函数是怎么样的吧。

H(p,q,r)=Y_pZ_q^--Y_r^-Z_qY_p^-Z_q^--Y_rZ_q

　　如果缺少 Y_p 层的参与，那么 H(p,q,r)=Z_q^--Y_r^-Z_qZ_q^--Y_rZ_q=I

　　如果缺少 -Y_r 层的参与，那么 H(p,q,r)= Y_pZ_q^-Z_qY_p^-Z_q^-Z_q=I

　　如果缺少 Z_q 层的参与，那么 H(p,q,r)= Y_p-Y_r^-Y_p^--Y_r=I

上面的 I 表示循环操作。发现三个转层缺少任何一个参与，该操作就成了循环操作了。这样就证明了大于 S 的层次即 S 层次里面的层次是不受 H 函数影响的，所作的是循环。

2。对于小于 S 的层次，即 S 层次外面的层次的问题就不好办。因为它不象上面那样至少有一个层没参与转动。它可是三个转层都参与转动了啊，但也是一个循环操作。

如果对所有转动了的小块进行跟踪，要进行 3n²-2n 次跟踪，是不现实的。明显地单体分析是行不通的，还是要整体分析。要是能像上面那样利用循环就方便多了。

好想法，但是问题是：的确是三个层参与而不是两个层参与啊。但可以这样处理，把某两个层归在一起作为一个群，而另外的第三个层也作为一个群。前一个群缺少一个层参与，那么所作的操作就是循环操作了，上面一节已论证了。而后一个群只有一个层，也能很容易看到它所作的也是循环操作。两个群作的都是循环操作，问题就在于：两个循环操作是穿插进行的，不是一先一后地进行，而且还有相交的地方，两个循环操作必定互相影响，定存在群与群之间的元素互换。现在只有期待群与群之间的元素互换，最终又回归各自的群。

问题转化为证明：交换了的元素能否最终又回归各自的群。现在只证明第三个层中元素的运动情况，而前两个层中的元素也可以用同样的方法去证明，就不用再罗嗦一遍了。

　　如图，绿层所代表的就是一个群，区别与红层代表的另外一个群。分开来看都是循环的。A₁，A₀ 是特殊块，它们的正对面分别是 A₁'，A₀'（图中没画，知道就行）。

　　现在，就来一步一步地分析两个群之间的元素交换，全过程如下：

　　第一步：Y_p 层转动，无元素交换。

　　第二步：Z_q 层转动，无元素交换。

　　第三步：-Y_r 层转动，A₁ 转到 A₀ 处，A₁' 转到 A₀' 处。

　　第四步：Z_q 层转动，A₁ 转到 A₂ 处，A₁' 转到 A₂' 处。

　　第五步：Y_q 层转动，无元素交换。

　　第六步：Zq 层转动， A 1 转到 A 0 处， A 1 / 转到 A 0 / 处。

　　第七步：-Y_r 层转动，A₁ 转到 A₁ 处，A₁' 转到 A₁' 处。

　　第八步：Z_q 层转动，无元素交换。

　　从以上的分析发现，红层里面存在交换的元素经过一系列的运动又回归红层而且是原处。绿层里面的元素也一样。

　　还有一个特殊问题就是交叉元素 A₀，A₀' 的情况。它的运动不能称之为两个群的元素交换。其实只要证明它也能回归原位就可以了，道理一样，我就不证明了。

　　对于小于 S 的层次，即 S 层次外面的层次的问题已经全部证明完毕。是无影响的。

　　3。对于等于 S 的层次，问题就可以不用证明了，因为 H 函数本来就不是一个循环操作（你能证明它等于 I 吗？），它一定会对魔方产生一定的影响。既然已经证明了上面的两条，那么现在就可以马上断定它影响的地方一定就在第 S 层次。

　　定理到此全部证明完毕。

　　如果你没有群的观念，而把它当成是三个转层之间的问题的话，证明的难度会大大增加，过程也会相当烦琐。

　　这个定理是完全复原 N 阶魔方的理论支持。即 使 N 阶魔方的外部及内部各个层次的所有的总共 N³ 个小块都归原位的理论基础。

　　那么 N 阶魔方的完全复原过程是：先复原表层也即魔方的第一个层次，包括面块的完全复原，中心复原在内。也即第一个层次的完全复原。这时候注意一点，既然表面完全复原了，那么整个 N 阶魔方簇之间的扰动就完全消除了（这一点就交给彭伟解释吧）。那样的话，内部各个层次的复原就都是簇内变化了，刚好我的 H 函数对应的操作也全部都是簇内变化。所以凭 H 函数就能完全复原 N 阶魔方的内部。

　　更有意思的是，由于内部复原都是簇内变化，所以内部层次的复原不需要按由外到内的顺序依次复原。内部层次复原的顺序可以是任意的。

　　特殊地，奇数阶魔方的中心块与各面心块的问题：很特殊，建议一开始就解决掉，把位置都摆正确，而且别的小块都以它们为标准复原，以免留下一大堆遗留问题。

　　本节完。

[此贴子已经被cube_master于2005-9-24 0:47:27编辑过]

邱志红

二、两棱问题

　　高阶魔方存在一个非常经典的问题，也是讨论最频繁的问题，也是引起的思考较多的问题。它就是两棱问题。你是否觉得我在讲复原方法的时候在故意回避这个问题，因为的确在复原时我只字未提。那是因为一言难尽，要做专题来讨论。

　　两棱问题 :N 阶魔方，玩到最后只剩两个棱块没有复原。三阶以上的魔方中才会有的现象。

　　这个问题很难，难煞很多第一次遇到这个问题的玩家。我也不例外。我一直都怀疑我的复原方法有问题直到我认识并理解了魔方中的扰动关系。

　　现在我对这个问题的理解是：扰动未消除，将两个棱块中的某一个棱块所在的中间层转动 90 度（正与逆随便），扰动就消除了，剩下的你应该知道怎么做了吧，就不用我废话了吧。还有，阶数特别高的时候，可能会存在多个两棱问题，它存在于不同的侧棱块簇上。解决方法没什么不同，一簇一簇地将扰动消除。

　　现在各位应该明白了吧，两棱问题的解决不在复原方法上，而在扰动理论理解和运用上。

　　本节完。

[此贴子已经被cube_master于2005-9-24 0:48:29编辑过]

邱志红

三、N 阶魔方的理论模型

　　实际的 N 阶魔方是一个六个表面涂上六种不同颜色的立方体。直接以实物当模型当然是不可取的。因为一个便于游戏，一个便于研究，是不能混为一谈的。很多人都犯了这个错误，我也犯过，我改了。现在我就把我的模型展现给各位。其实很多人在我以前的帖子里面已经见到过，但真正理解的人却不多，连我也不是完全理解，因为我只发掘了它的很小的一部分作用。

　　我的设想是 ,N 阶魔方是由 N₃ 个边长相等的小立方体组成的，为了研究的方便，我把每个小立方体的 6 个面都标上可以运算的字符，就是 X,Y,Z，-X，-Y，-Z。而且 6 个字符的排列是按右手法则排列的。就是下图，这样的单位立方体也叫 “色子”。

也许是偶然吧，当它们同向排列 (6 个面的朝向都一致 ) 并拼合成一个大立方体的时候，奇妙的事情发生了，只要是面与面相接的地方，必定是 X 对 -X,Y 对 -Y,Z 对 -Z。接合的时候代数和皆为 0，理解为颜色，就是无色。那么没接合的部分就表面了，自然表面字符 ( 颜色 ) 就都保留了，而且大立方体的一个表面的字符 ( 颜色 ) 是一致的。字符 ( 颜色 ) 的朝向也和一个小立方体一致。由以上的两点就发现我建立的模型是完全符合实际的，与实际完全吻合。下图就是以三阶为例的情形 .N 阶的情况就可想而知的。我想各位应该能够抽象出来吧。

但为了研究的方便，所有相接地方的字符 ( 颜色 ) 都不抵消掉，都保留所有的颜色。那么 N 阶魔方就可以理解为三维的空间色子阵，而且原始的状态可以称为同向的三维空间色子阵。这就很特殊了。可以好好利用。

有了这样一个模型就可以研究魔方小块颜色被抵消的部分，特别是高阶魔方的内部小块，因为颜色都补齐了。又小块的形态是一样的，那么就可以对它们作统一的研究，而不用区分类别了，这样容易把握魔方小块的一般的共同的性质，而不至于陷入互相孤立的研究。

表面的字符的选择也是很有科学的，因为它们不但互相区分还是可以运算的 ( 就是前面讲的叉积运算 )。而像方位符 URL 及颜色红黄蓝等是做不到的。下几节就可以知道是怎么运算的。

研究的时候还可以统一都只研究每一个小块的 X,Y,Z 面。而不去论它们的对面 -X，-Y，-Z，因为都可以由 X,Y,Z 面的情况推得。这样问题又简化了一步，这也是用一般的方位符 URL 及颜色红黄蓝等都理不清的问题。因为不同的小块露在外面的颜色是不尽相同的。研究的时候必须分开来看。造成了极大的麻烦。所以我的这种处理方法也是很科学的。

还有该模型研究简便，以一代全。即研究所谓的一般块 ( 看起来是某一个小块，实则不然 )，它是含三个变量的，三个变量取不同的值时，就代表不同的小块，而且可以覆盖到所有块。研究的时候当然不取具体值，就带着三个变量作抽象研究。这是数学研究里面最简单不过的研究方法了。

这就是我建立的 N 阶魔方真正算得上是理论上的模型。

　　本节完。

[此贴子已经被cube_master于2005-9-24 0:49:08编辑过]

邱志红

四、小块的坐标

　　以前讲了坐标体系，但没有定义小块的坐标。因为那是出于复原的想法，还不需要定义小块的坐标。只要定义转动的描述法就可以了。还有一个原因是，我对以前的理论做了根本性的修改，已经面目全非了，直到今天全部的推敲和修改才基本完成。，可能还存在问题，所以迟迟没写进来。

　　首先还是定义几个东西吧。

　　原点面：即六个原点所在的平面，OX 轴的原点所在的面定义为 X^#，同理就有 Y^#,Z^#，-X^#，-Y^#，-Z^#。

　　X 面对应的矢量：以 X 面的背面为终点，以 X 面背面所对的原点面为起点的一段矢量，称为 U^x。同理有 U^y,U^z。U^-x，U^-y，U^-z。不写成下标是因为我将下标留作它用。

　　一般而言，只研究 U^x，U^y,U^z 就可以了。说白了，这里直接就可以把 U^x，U^y,U^z，当成是某一个小块坐标的三个分量。而坐标就记为(U^x，U^y,U^z)。特别注意，U^x 只是 X 面对应矢量的方向。不一定 X 方向的 ( 那只是初始时的情况 )，可以有 6 种不同的朝向，其他的两个分量亦是如此。

　　那么初始小块的坐标就可以统一记为 M(aX,bY,cZ)。其中 1≤a,b,c≤n。就不用具体指明是哪一块了。下一节就讲转动时坐标的变化，并用一个方程来联系始末状态。

　　这种坐标的定义方法就是与我以前定义的方式完全不同了。注意了现在讨论的时候就以现在的为标准了。

　　这种坐标定义方式也算是对传统坐标定义的一种大的改革。一般的方法是以 X 轴 ,Y 轴 ,Z 轴为基准来确定小块的空间位置，而这里刚好相反，是以小块的 X 面 ,Y 面 ,Z 面为基准去选取各自的方向，而方向对应着坐标轴，所以也可以说是选取各自的坐标轴。

　　本节完。

[此贴子已经被cube_master于2005-9-24 0:49:32编辑过]

邱志红

五、转动模型

　　有了小块的坐标了，就不愁转动方程了。现在就以小块 M(aX,bY,cZ) 以 Y 方向正转 90 度 ( 强调：是以右手法则为标准正转，而不是顺时针转 )。情况如图：

　　上图是指明转动的层，下图是那个层的剖面图，小块的 Y 面对应的矢量是不变的，就不用画了。四周是 Y^#,Z^#，-Y^#，-Z^# 四个面，这样你应该能在脑海里想象得到具体的情况了吧。

　　现在来看小块末状态时的坐标吧。先看 X 面 ,U^x 的方向是 -Z 方向。其长度为 a，这一点可以由简单的平面几何知识得到。就不详细讲了。那么末状态时 U x 就为 -aZ。同理 U z 就为 cX。

　　这样末状态的坐标就是 (-aZ,bY,cX)。为了继续研究的方便记初状态为 M₀(U₀^x ,U₀^y ,U₀^z)。随后的状态就依次记为 M_n(U_n^x,U_n^y,U_n^z).n 即转动的次数。那么刚才的始末状态可以分别记为 M 0 (aX,bY,cZ) 和 M 1 (-aZ,bY,cX)。看起来没什么联系，但其实可以用 “叉积”来联系，就像同构变换中的那样。

　　关系为 (-aZ,bY,cX)=Y×(aX,bY,cZ)。即 M₁=Y×M₀。

　　还是那一点 ,Y × bY=bY，而不是象数学里面是为零，因为这里是要考虑几何意义的。

　　多次转动就继续这样运算。为了方便，转动也抽象地记为 T₁，T₂，T₃ …… T_n .n 为自然数。那么多次操作可以记为：

　　M_n=T_n×(T_n-1×(……×(T₃×(T₂×(T₁×M₀)) …… ))。

　　上式中的括号共有 n-1 层。要是 “叉积”满足交换律，我才没必要写这么复杂，直接用一个连乘符号就解决了。可它就是不满足交换律，没办法啊。这个式子也叫它的连乘式，但不是普通的连乘，这一点要特别注意。

　　还有一种简单的写法，就是递归式：

　　M_n=T_n×M_n-1

　　n 从 1 开始取，便可以不断 递推下去，直到满足要求。

　　递归式形式简单，规律性强，但中间态太多了，要一个一个地计算出来。而连乘式直接就将始末状态联系起来了，有时候还可以简化运算，但形式有点复杂，规律性稍弱。两者各有长短。

　　连乘式可以简化运算表现在操作有循环的地方，例如，连乘中有一段为

……×(Y×(X×(-X×(Z×……

　　那么由几何意义得知它中间有一个循环操作，于是上面的一段就可以简化为

……×(Y×(Z×……

　　上面只是就一个简单的例子，实际中可能会出现比较复杂的，也可以同样解决。这就是 连乘式的优点。

　　有了转动模型就可以完全精确地跟踪和确定某一个小块的运动过程和各个时候的状态。为魔方的单体分析提供了一个有力的工具。也就可以机械地但准确地证明一个问题：操作 H(p,q,r) 及其变换只影响特征值为 p,q,r 的那一簇小块。以前这是直接给出来的，现在就可以证明了，由于方法很简单机械，涉及的小块又暴多 ( 特别是魔方阶数很高的时候 )，所以这里就不证明了。大家知道怎么证就可以了。

　　这个转动模型进一步强化了我的“ X,Y,Z ”系统。使“ X,Y,Z ”系统得到了淋漓尽致的发挥。更加深入人心。也使我的理论系统更加统一，因为对于转动模型我以前是沿用他人的矩阵系统，与魔方的色子模型不太和谐统一。而现在的转动模型的“叉积”系统更简洁，更具几何意义，所以更容易理解和运用，这是矩阵系统望尘莫及。

　　本节完。

[此贴子已经被作者于2005-11-22 18:52:20编辑过]

邱志红

六、H 函数的推广

　　大家在读上一篇开头的一点就会发现一句话：描述法及相关变换对长方体型的魔方也完全适用。但我在上一篇里却并没有讲它，其实这还是我设置的伏笔，不知你是否足够细心？!

　　要想知道 长方体型魔方的相关论述和复原，先得学习一下下面的预备知识。

　　本节标题表面上看是推广 H 函数，其实我是在为长方体魔方的复原做铺垫。因为 H 函数对应的操作是无法直接运用到长方体魔方中的。因为长方体魔方的很多层只能一次转动 180 度，而 H 函数中的操作都是一次转动 90 度的，显然是不行的。根本原因是特殊与一般它们两者之间的关系。一般中的方法可以运用到特殊中去，反则不然。

　　既然这样，那就由特殊推广到一般吧。将 H 函数中的转动都一般化，即都可转 n 个 90 度。但转层的排列及转动顺序都不变。那么广义的 H 函数可以表示为：

H(pⁱ,q^j,r^k)=Y_pⁱZ_q^-j-Y_r^-kZ_q^jY_p^-iZ_q^-j-Y_r^-kZ_q^j

　　式中 pⁱ 代表 Y_p 转动时都是 i 个 90 度，其他的亦然。操作中的上标即指数就不用我解释吧。

　　j=2 的情况(即横向的那个层 Z_q 一次转动 180 度的情况)很特殊，一般不用，因为其效果不近人意。而且还破坏了 H 函数的统一性质。因为除了该情况以外的 H 函数一般都是三交换，是三周期的。对于这一点我感到很无赖，因为它是客观存在的，我不可能为了保持统一性而违背客观的现实。更不该去蒙混掩盖或者装蒜忽略。我虽然没能保住 H 函数的完美，但它培养了我实事求的精神。这才是研究过程中最重要的。也是每一个研究者应该具备的素质。

　　你可能要说，前面那些 i,j,k 都为 1 的 H 函数总可以说是完美的吧。即都是三交换，是三周期的。

　　我一开始也是这么认为的。现在我又要揭自己的短了，当 p=1,q=(n+1)/2,r=(n+1)/2 时又是一个特例，结果是：小块没有交换，而且是四周期的。具体效果是：相邻的两个面心块各自在原地转动 90 度。其实，一般地说这里 p 的取值可以不仅仅是 1，是 1 只是对第一个层次的面心块来说的 .p=2 时就是针对第二个层次的面心块的。所以 p 的取值在这里是很自由的。

　　但 p=(n+1)/2 时问题又出现了，也许是量变引起质变吧，它的性质更加怪癖，虽然是三周期，但不是三交换。其具体效果是：立方体的中心块以它的某个体对角线为轴转动 1/3，引起从外到内的所有面心块都随之转动 1/3。自然就是三周期的。也许还存在什么问题，请各位不吝赐教。但有一点，它始终都是簇内变换，即使是广义的 H 函数。

　　j=2 的情况，很头疼。各位也不必为此而一叶障目而看不到广阔的大好风景。撇开上面的特殊情况不谈，广义的 H 函数比狭义的 H 函数的适用范围大多了，而且性质基本是一样的。效果当然就各异了，就不用我说了吧，自己去试验吧。

　　本节完。

[此贴子已经被cube_master于2005-9-24 0:50:51编辑过]

邱志红

七、长方体魔方的模型

　　它其实几乎和立方体的一样。坐标体系，转动的描述，理论的结构，小块的坐标，转动模型都相差无几。也一样存在扰动的问题和内部问题。

　　它的坐标体系如下图 ( 由立方体的坐标体系图改的 ):

　　长宽高可能不是如图那样子的。但还是以各个面心为原点。轴及轴向都是一样的。

　　层的命名及转动的描述和立方体的是一样，只能转 180 度也一样记为平方。

　　其理论结构和立方体的一样是空间色子阵，表面标的也是 X,Y,Z 等字符，初始状态一样是同向空间色子阵，也一样颜色被抵消，也一样与实际的完全吻合。唯一不同的是组成的时候三个方向的层不一样多。仅此而已。如图，是一个 2×3×4 的魔方。

　　小块的坐标定义方式不变。

　　转动模型不变，只是有些地方只能转动 180 度。

　　有奇数个 90 度就有扰动。扰动的性质和处理一样。

　　有内部小块就又内部问题。性质和处理一样。

　　本节完。

[此贴子已经被cube_master于2005-9-24 0:51:19编辑过]

邱志红

八、长方体魔方的复原

　　我只讲有两个边相等的情况，边长都不同的长方体完全能且只能用 H(p²,q²,r²) 来解，当然不论在哪里，做旋转变换和相似变换总是必要，这里也不例外。这种情况太简单了，这里就不加以讨论了。下面只要不特别说明，长方体魔方指的就是有且仅有两个边相等的长方体魔方。

　　前面已经说过 j=2 的情况 ( 即横向的那个层 Z_q 一次转动 180 度的情况 ) 很伤脑筋。那么这里就尽量避免它。避免它也是可以完全复原 长方体魔方的，何必要迎难而进，阻力重重，饶行而进岂不更加轻松惬意。所以我建议大家玩的时候尽量 避免它。

　　避免它的方法很简单，摆放时使垂直 Z 方向的层为正方形就可以了。这样 Z_q 就可以一次只转动 90 度了。

　　特征值的确定和立方体的完全一样，得到特征值以后，就可以代到 H 函数中，那么此时的 H 函数一定是 H(p²,q,r²)。即纵向的两个层一次只能转动 180 度，而横向的层这里只一次转动 90 度。马上就可以得到原始的公式，然后根据自己的需要做一些必要的变换成为有自己特色的应用公式。

　　由于本节都是讨论 a×a×b 型的魔方，所以为了讨论的方便就记 H(p²,q,r²) 为 H(p,q,r)。反正至少在本节是不会产生混淆的。

　　注意一点：长方体的特征值不能随便互换位置。要不然公式就应用到不同的簇上面了。举一个例子，在 3×4×4 的长方体魔方中 .H(1,2,1) 与 H(1,1,2) 就是针对不同的的。如图：

　　可以发现后面两个图变化的小快是属于不同的簇的。虽然特征值是一样的，两个 1，一个 2。以后遇到这个问题怎么解决呢？

　　很简单，严格地定义它，使特征值要讲顺序。我是这样定义的：三个分特征值的读取是按 X,Y,Z 方向依次进行的，而且三个分特征值的排列也是该顺序。

　　那么，图 2 中变化了的小块的特征值就是 1,1,2。而图 3 中变化了的小块的特征值就是 1,2,1。这样就没有问题了，但这样的话，特征值的排列顺序就与 p， q， r 的排列不一致了。不大好判断了。

　　有一个简单的方法：先读出三个特征值，只需要把 Z 与 -Z 方向的分特征值单独拿出来作为 H(p,q,r) 中的变量 q 就行了。而另外两个分特征值的顺序是可以不论的。

　　而直观的理解是：横向层 (Z_q 层 ) 要包含你想变化的一簇小块中的某一些块。就以上面的图为例吧。如果你想变化的是图 1 所体现的那一簇，那你就选取横向层为 2，即取 q=2，它是包含那一簇小块。再来看看图 3，如果你想变化的是图 3 所体现的那一簇，那你就选取横向层为 1 或 3( 其实本就区别不大 )。它是包含你想变化的那一簇小块的，另外，这两簇小块一定不会在上下 (Z 方向 ) 的同一个层出现，所以你不用担心这样做会有什么问题。这是涉及到簇内变换与簇间扰动的，这一点，彭伟最擅长了，我就不班门弄斧了，希望彭伟在他的理论里加入关于长方体魔方扰动的论述。

　　就是这样了，看你自己的需要了。关键在：上下方向(Z 方向)的层的选取了。相信这样你就足够复原长方体的魔方了。

　　本节完。

[此贴子已经被作者于2005-10-13 11:11:50编辑过]

邱志红

九、长方体魔方的相关问题

　　上面的复原和在立方体中出现的问题一样，只能说是表面的复原。内部呢？外部复原，内部一定是复原的吗？答案和以前立方体中的一样是否定的。

　　其实长方体魔方也存在内部问题即内部层次和完全复原的问题。层次的定义与以前的一模一样。举一个例子吧。还是举 3×4×4 的长方体魔方的例子，使用操作 H(2,2,2)。就是下图：

　　图 1 是原始状态，图 2 是表面的状态，图 3 是内部的状态。相关的定理是与立方体的一模一样的，H 函数对应的公式只影响某一个层次，而对该层次以内或以外的层次无影响。而且被影响的那个层次由三个转层中最靠外的一个转层决定。对应的证明则是类似的，就不重复了。

　　解决方法也一样，先完全复原表面，这样扰动就不存在了。用 H 函数依照上面的定理一个一个层次地复原就可以了，都是簇内变换，当然不要纯用 H 函数而忘记作变换了。

　　现在来看看长方体魔方里面的扰动吧，其实简单：有奇数个 90 度就有扰动。处理方法就是在有扰动的地方再转动 90 度就行了。

　　再来看看，面心块和面块的问题吧。讨论它是为了完全复原魔方。而像上面图中的那种魔方，这个问题是看不出来的。但这个问题却是客观存在的，既然存在就不能忽略它的存在。就在 3×4×4 的长方体魔方里面试试 H(2,1,2) 的相似变换 X₂²H(2,1,2)X₂² 吧。就是下图。

　　看得出，顶层的三个面块变化了。面心块的问题也是类似的，这一切都是受扰动制约的。

　　长方体的复原就这么多了。哦，还有一点，长方体魔方里面用到的广义的复原方法都可以运用到立方体魔方的复原中，而不必仅用 H(p,q,r)。这样立方体的复原方法就更加丰富了。但千变万变都不离一个 “ H ”，它始终是最根本的。也是一式解万方的基础

　　本节完。

[此贴子已经被cube_master于2005-9-24 0:56:49编辑过]

邱志红

十、统一论

　　有了以上的所有论述，我对立方体魔方及长方体魔方，两者各自本身及两者之间有了一个统一的认识。遂有统一论。

　　它们各自本身的统一性在于：

　　1. 小块的形态统一。

　　2. 小块坐标形式的统一

　　3. 每个小块研究的面 ( 都研究 X,Y,Z 面 ) 统一

　　4. 转动方程的统一

　　5. 初始时小块 6 个面的方向统一

　　6. 理论模型与现实实物的统一

　　7. 不同层转动的描述方法统一

　　8. 不同阶数魔方的复原方法统一

　　9. 内部小块与外部小块的统一

　　10.所有小块的地位平等统一

　　11.同一簇小块的特征值统一

　　12.每簇小块的空间方位与复原方法的统一

　　13.不同簇之间复原方法 ( 八转法 ) 的统一

　　14.理论的符号系统 (X,Y,Z 系统 ) 统一

　　它们两者之间的统一。

　　1.模型中魔方的构成方式统一

　　2.复原方法 ( 广义的 H 函数 ) 统一

　　3.转动模型的统一

　　4.转动及记录的描述法统一

　　5.扰动规律及解决方法统一

　　6.坐标体系的统一

　　7.特征值确定方法统一

　　8.关于魔方层次的定理统一

　　9.内部问题的解决方式统一

　　10.特殊与一般的对立统一

　　统一论使我明白了：统一

　　存在于小块之间

　　存在于层与层之间

　　存在于簇与簇之间

　　存在于魔方内外各个层次之间

　　存在于复原方法之间

　　存在于不同阶数的魔方之间

　　存在于立方体与长方体之间

　　存在于特殊与一般之间

　　所以我现在的主张是：不分类

　　因为有这么多的统一，就没有必要去分类。

　　把方型的魔方分为立方体魔方和长方体魔方是没有必要的，因为都是由各簇小块的空间方位来确定特征值，然后将其运用到魔方中。不行的话就作一些必要的变换。遇到扰动的处理也无异。面心块及内部问题一样处理。小块坐标，转动等等理论模型都一样。干吗还要用力去区分立方体和长方体乎。

　　将魔方小块分类也没有必要，都是套用特征值的确定方法及应用方法加上必要的变换。就可以搞定所有的小块。这样将小块分为内部与外部也是没有必要的，只是所在的层次不同而已。

　　反正还有很多类似的不分类的理由。就不一一列举了。

　　但分簇呢？魔方的簇是自然地客观地存在的。但没有必要刻意去区分。我方法的思想就是一簇一簇的完成，但不限制顺序。前提是消除扰动。

　　当然，还是有很多不同的地方的，前面也单独举例列举了。需要特别注意。

　　本节完。

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