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圆上作弦的概率问题 [复制链接]

钟七珍

银魔

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电梯直达

1^#

发表于 2008-4-14 03:17:44 |只看该作者 |倒序浏览

　
　　在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
　
　　我搜集到有七种解法。但哪种方案才是合理的呢？

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钟七珍

银魔

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2^#

发表于 2008-4-14 03:29:11 |只看该作者

　
　　解法一：任何弦交圆周两点。不失一般性，先固定其中一点，则弦的另一端只有位于此固定点正对的1/3圆周长的弧内才满足要求，所以概率是1/3 。

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钟七珍

银魔

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3^#

发表于 2008-4-14 03:30:38 |只看该作者

　
　　解法二：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2

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钟七珍

银魔

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4^#

发表于 2008-4-14 03:31:18 |只看该作者

　
　　解法三：弦的中心点必须位于半径为1/2的同心圆之内才满足要求。而此圆的面积是大圆面积的1/4，故所求的概率是1/4 。

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钟七珍

银魔

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5^#

发表于 2008-4-14 03:35:11 |只看该作者

　
　　暂时列出三种解法。而这三种解法的最终结果不一致。到底哪一种方案才是正确的呢？才合理呢？才符合题意要求呢？

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hanwuji

白魔

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6^#

发表于 2008-4-14 10:07:57 |只看该作者

典型的几何概型，几何测度应该是弦所对应的弧度：P=1/3，因此第一种解法正确

[ 本帖最后由 hanwuji 于 2008-4-14 10:13 编辑 ]

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阿猪

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发表于 2008-4-14 11:46:28 |只看该作者

这话题与魔方无关

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路过魔尖

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8^#

发表于 2008-4-14 12:34:27 |只看该作者

无关的只要有关数学就可以讨论，可以按圆心角比例算

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Cielo

透魔

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9^#

发表于 2008-4-14 13:38:34 |只看该作者

《概率论引论》（汪仁官）书中第12页是这样说的：在使用术语“随机”、“任取”、“等可能”、“均匀”时，应明确其含义。<br><br>所以说这个题目有问题，根本没说清楚，没必要讨论的！<br>

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bbshanwei

透魔

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10^#

发表于 2008-4-14 14:51:55 |只看该作者

一看到数学就头疼，今天又疼了。<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10">

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